:

          


















:

:

:

- ;

- ;

- 2=X3+K,

(2=3-, 2=3-+1, 2=3++);

- 2-2=1;

- ;

- ;

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

() 1.

.

, , . n+n=n , n = n + n, , .. .

 

2. . . , .. .

 

3. . .

. , , , , .

 

..

 

 

n>2.

 

. . .

 

 

4 +2

6 +2

8 +2

10 +2

12 +2

14 +2

16 +2

18

 

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

6 +3

9 +3

12 +3

15 +3

18 +3

21 +3

24 +3

27

 

8 +4

 

12 16

20 24 28 32 36

+2

10 +5

15 20

25 30 35 40 45

 

12 +6 18 24 30 36 42 48 54

 

+2

 

14 +7

21 28 35 42 49 56 63

 

+2

16 +8

24 32 40 48 56 64 72

 

+2

18 +9

27 36 45 54 63 72 81

 

, , - ( i + 1) ( j + 1), i - ,

j , . 蠠 ( = 1) 2( i + 1) .

().

2( i + 1) 1. - 2( i + 1) - 1.

 

:

- I X - , - , Z - ;

- II X - , - , Z - ;

- III X - , - , Z - .

 

I. .

.

[2( 1 + 1)]n = [2( 2 + 1)]n + [2( 3 + 1)]n ,

1 > 2 > 3

.

( 1 + 1)n = ( 2 + 1)n + ( 3 + 1)n

, , , .. , , Z i .

 

.

 

 

()

 

 

.

 

.

10 .

2( 1 + 1)=10 1 =4

2( 2 + 2)=10 2 =3

2( 3 + 3)=10 3 =2

.. 1 .

() 蠠 .

, , (, , ) , (n, n, n), n = 1, 2, 3

.. () , f, 3 +1<K<.

.

() 2 :

- I - ;

- II - .

= - 3,

ࠠ n>2.

.

, , Z.

() I , . . II III , :

II [2( 1+1)]n=[2( 2+1)-1]n+[2( 3+1)-1]n

III [2( 1+1)-1]n=[2( 2+1)]n+[2( 3+1)-1]n

.

 

, , .

.

 

(1)

 

3 :

- I - , - , n - ;

- II - , - , n - ;

- III - , - , n , , .

 > 

 

I.

.

 

, , , 1 > 2

= - 2,

 

(2)

; .

,

, n = 3, 15 . . . . .

n = 3

) ,

) ,

() (1)

= 2, = 1, n = 3

() (1)

.

 

,

 

,

 

 

 

 

 

:

 

(3)

..

 

 

II.

.

 

 

 

, n n = 8, 24

 

(2).

(3).

(3) I II n .

 

III.

.

 

 

, - :

 

..

 

:

 

, .

 

, - . .

, :

,

, t = 2 N = 1.

. (1)

(2=3-, 2=3-+1, 2=3++)

 

4 :

- I - , - , - ;

- II - , - , - ;

- III - , - , - ;

- IV - , - , - .

, - .

I.

>, 1> 2

(2)

(1) (2).

.

(2) m=1.

, m≥1.

.. K , K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 .

K.

K :

 

-=2, 4, 6, 8, 10, 12 .

-=-4, -6, -8, -10, -12 . .

 

, :

1) -=2 K=8

2) -=4 K=24

3) -=6 K=48

4) -=8 K=80

1) =+2, (1) K=8

1=1 2=2 3=-2

1=3 2=4 3=0

K=8 K=8 K=8

2) =+4

=1

=5

K=24

3) =+6

=1

=7

K=48

4) =+8

1=1 2=4 3=-4

1=9 2=12 3=4

K=80 K=80 K=80

 

II.

(3)

 

(3),

, m≥1.

m=1 K 7, 1, 17, 41, 73, 113 .;

K, :

-=-1, 1, 3, 5, 7, 9.; -=-3, -5, -7, -9.

III.

1, 2,

, m≥1.

m=1 K 4, 8, 28, 56 .

K :

-=0, 2, 4, 6.; -=-4, -6, -8, -10.

IV.

, m≥1.

m=1 K 3, 15, 35, 63, 99 .

K :

-=1, 3, 5, 7, 9 .; -=-3, -5, -7, -9, -11.

 

2=3-, 2=3-+1, 2=3++ .

, , . .

- I - , - ;

- II - , - , > , 1> 2.

I.

..

II.

.

 

, , .

< .

 

.

, . , , . .

2 :

- I - , - ;

- II - , - .

>

I.

:

, 堠 , (1)

(2)

(1) ,

,

蠠 (2)

,

 

 

 

 

 

II.

, 堠 , (4)

.

(5)

(4)

,

蠠 (5)

 

:

(3) (6).

.

 

.

(1)

 

, , Z

> > Z.

,

堠 , (2)

:

.

.

(3)

 

(3) (2) .

.

m :

- m=2 , ࠠ

- m=7 , ࠠ

) ()

(3) (2) :

m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11. .. , , (4).

(-)(+)=Z2 ,

 

(4)

, .

 

ՠ 5 13 25 41 61 85 113 145 181 221 265 313 365 421

Ӡ 4 12 24 40 60 84 112 144 180 220 264 312 364 420

Z 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

 

, Z , .

Z , .

Z=15 Z2=225

225=1 225; 375; 545; 925

(4), .

 

=39, =36, Z=15,

=13, =12, Z=5

 

=25, =20, Z=15,

=5, =4, Z=3

 

=17, =8, Z=15,

, > Z.

 

Z=27 Z2=729

729=1729; 3243; 981

=123, =120, Z=27, =41, =40, Z=9;

=45, =36, Z=27, =5, =4, Z=3.

Z=35 Z2=1225

1225 = 11225; 5245; 7175; 2549.

= 125 (25), 91 (13), 37

= 120 (24), 84 (12), 12

Z = 35 (7), 35 (5), 35

Z=39 Z2=1521

1521=11521; 3507; 9169; 13117.

= 255 (85), 89, 65

= 252 (84), 80, 52

Z = 39 (13), 39, 39

.

) :

Z.

.

: < Z,

蠠 < .

.

 

(3), , , Z.

 

 

, - .

)

- m.

)

) , m=2, =8;

(X-Z)(X+Z)=64

64=164; 232; 416.

232,

 

 

 

..

 

 

 

 

 

) - .

) , m=2, =12 ..

=12 2=144.

144

144=272; 436; 624; 818.

(-Z)(X+Z)=2 , , Z.

 

ՠ 37 20 (5) 15 (5) 13

Ӡ 12 12 (3) 12 (4) 12

Z 35 16 (4) 9 (3) 5

) - .

) - .

) - .

) - .

 

:

- >>Z, 蠠 > > .

, 22 .

 

, ,

(), (), ().

) Z=2m, m ≥1.

m ≤10, -=2.

ՠ 5 10 26 37 50 65 82 101

Ӡ 3 8 24 35 48 63 80 99

Z 4 6 10 12 14 16 18 20

) - , ().

)

 

.

 

m=2, 3

 

ՠ 13 34 (17)

Ӡ 5 16 (8)

Z 12 30 (15)

. .

 

 

.

 

 

. . . , .

 

2 :

- I - , - ;

- II - , - .

 

:

> , < ;

< , > .

, - .

16 . .

, - , .

I.

1. > , < Ӡ , .

.

, 1> 2, ࠠ 1 < 2.

.

堠 .

2. > , < Ӡ , .

,

.

=+1.

.., -=1 .. =+1.

3. > , < Ӡ , .

, (1).

4. > , < Ӡ , .

, (2).

5. < , > Ӡ , .

, .

6. < , > Ӡ , .

.

7. < , > Ӡ , .

.

8. < , > Ӡ , .

.

, .

II.

9. > , < Ӡ , .

- .

10. > , < Ӡ , .

- .

11. > , < Ӡ , .

.

: 32-23=1

12. > , < Ӡ , .

.

13. < , > Ӡ , .

14. < , > Ӡ , .

15. < , > Ӡ , .

16. < , > Ӡ , .

()

13, 14, 15, 16 .

.

,

()

, .

13, 14, 15, 16 .

, , - 8 .

.

.

: - .

- .

> , > , , .

> , > .

, , , , .. .

.

: - .

- .

> , > , , .

,

, , .

 

 

 

 

().

 

, , , , , Z > 2.

 

 

2 :

- I - , - , - ;

- II - , - , - .

, , .

, , , .. , , , , , Z . , .

 

I.

) > > , < < Z, - , - , - .

.

, = - 3

(1)

(1)

.

II.

) > > , < < Z, , , - , - , - .

.

,

.

, .

. 2009-2010 .

.

()

> > Z.

,

.

.. .

.

.

 

. .

? .

.

, ?

, .

. , . , .

?

. , , .

, . .

3+3+Z3=6903

- ,  , , Z .

.

=2m+1, m=6 =13

Z=2m-1, m=6 Z=11

m=6 =15

.

 

, .

 

, .