В Закладки

Главная
Официальная
Новости
Курсовые работы
Дипломные проекты
Лекции и конспекты
Рефераты
Софт
Ссылки
Справочник Студента
Гостевая

Почта


Поиск по сайту:

          


















Курсовая работа по экономике. Экономико-математические методы и модели.

Курсовая работа по экономике. Экономико-математические методы и модели.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО СЕЛЬСКОМУ ХОЗЯЙСТВУ

ФГОУ ВПО КОСТРОМСКАЯ ГСХА

Кафедра экономической кибернетики

М.А. КОЗЛОВА

МАТЕМАТИКА

(ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ)

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы для студентов факультета заочного обучения специальностей 060400 «Финансы и кредит»; 060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

КОСТРОМА 2005

УДК 519.8

Методические рекомендации составлены сотрудником кафедры экономической кибернетики: ФГОУ ВПО Костромская ГСХА к.т.н., доцентом Козловой М.А.

Учебно-практическое издание рассмотрено и рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета ФГОУ ВПО Костромская ГСХА, протокол № 3 от апреля 2005 г.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики ФГОУ ВПО Костромская ГСХА Марусич А.И.

Методические указания составлены в соответствии с теоретическими вопросами, предусмотренными программой курса «Математика (экономико-математические методы и модели)» для специальностей «Финансы и кредит» и «Бухгалтерский учет и аудит».

Наряду с кратким изложением теоретического материала в методическом пособии представлены схемы решения типовых задач и показана их реализация на конкретных примерах.

Табл. 10 Ил. 2.

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 4

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 5

Тема 1. Геометрическая интерпретация основной задачи планирования производства и графический способ ее решения 5

Тема 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования 7

Тема 3. Модель межотраслевого баланса 10

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 12

Тема 4. Использование аппарата производственных функций для анализа экономических систем 12

Тема 5. Моделирование поведения потребителя 15

ВЫБОР ВАРИАНТА И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 17

ОФОРМЛЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ И ЕЕ РЕЦЕНЗИРОВАНИЕ 24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ Ошибка! Закладка не определена.

ВВЕДЕНИЕ

Современная экономическая наука широко использует математические методы как для решения прикладных, практических задач, так и для теоретического моделирования социально-экономических процессов.

Целью изучения учебной дисциплины «Математика (экономико-математические методы и модели)» является наращивание студентами знаний и развитие практических навыков использования математических методов и моделей, как для решения прикладных задач, так и для теоретического моделирования социально-экономических явлений и процессов.

Программа дисциплины в соответствии с образовательным стандартом специальностей «Бухгалтерский учет и аудит» и «Финансы и кредит» предусматривает следующие виды и объемы учебной нагрузки для студентов факультета заочного обучения: лекций - 8 часов; практические занятия - 16 часов, самостоятельная работа – 156, форма контроля – экзамен.

В соответствии с рабочей программой дисциплины студенты должны выполнить одну контрольную работу. Контрольная работа предусматривает выполнение студентом пяти заданий по основным темам курса согласно выбранному варианту.

Учебным планом занятий предусматриваются консультации по выполнению контрольной работы с преподавателями кафедры экономической кибернетики.

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Тема 1. Геометрическая интерпретация основной задачи планирования производства и графический способ ее решения

Задача оптимального планирования является самой важной из задач линейного программирования. Если сформулировать задачу линейного программирования без экономической интерпретации, то она такова: найти экстремум линейной функции при линейных же ограничениях на переменные. При этом множество значений переменных, удовлетворяющих всем ограничениям задачи, называется допустимым множеством. Допустимое множество представляет собой некоторое многогранное тело в линейном числовом пространстве размерности, равной числу переменных задачи. Линейная же функция, экстремум которой ищется, называется целевой функцией.

В случае двух переменных задача планирования производства имеет наглядную геометрическую интерпретацию.

Дана задача линейного программирования:

C=с1x1+c2x2?min (max) (1)

(2)

Необходимо среди допустимых решений системы (2) найти то, которое обращает в минимум (максимум) линейную целевую функцию (1).

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой (i=1,2,…,m). Если система совместна, полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений.

При графической интерпретации задачи линейного программирования могут встретиться следующие случаи.

Целевая функция достигает своего экстремума в одной угловой точке многоугольника решений (в его вершине).

Целевая функция достигает своего экстремума на отрезке – это происходит тогда, когда линия уровня целевой функции параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника, причем эта сторона расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой функции к своему оптимуму. В этом случае задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Целевая функция не достигает своего экстремума, т.к. область решения представляет собой незамкнутый многоугольник

Разговор о нахождении экстремума целевой функции не ведут, т.к. система ограничений задачи несовместна, а область решения есть пустое множество.

Схема графического метода решения задачи состоит из следующих этапов.

Записываются уравнения граничных прямых;

Строятся графики граничных прямых на координатной плоскости;

Находится область определения каждого из неравенств системы;

Строится многоугольник решений;

Строится график целевой функции и направляющий вектор N;

Определяется экстремальная точка многоугольника

Вычисляется значение целевой функции в полученной точке.

Рассмотрим алгоритм решения на конкретном примере.

ПРИМЕР:

Решите графическим методом задачу линейного программирования:

C=x1-3x2?min

Уравнения граничных прямых: 1)x1-x2=-2; 2)2x1+x2=4; 3)2x1-x2=1; 4)x1=0; 5)x2=0.

Строятся в декартовой системе координат графики граничных прямых (рис.1)

Определяется область решения для каждого из неравенств. С этой целью выбирают любую точку плоскости декартовой системы координат и подставляют значения координат х1 и х2 этой точки в неравенство, область

Рис. 1. Графическая иллюстрация решения задачи линейного программирования решения которого отыскиваем. Если координаты выбранной точки (х1,х2) удовлетворяют неравенству, то решением его является та полуплоскость, где лежит эта точка. Если же координаты данной точки не удовлетворяют неравенству, то областью решения является противоположная полуплоскость. Определим область решения для неравенства x1-x2?-2. Возьмем точку с координатами (0;0), подставим значение координат х1=0 и х2=0 в неравенство, получим 0?-2, областью определения данного неравенства является полуплоскость содержащая точку с координатами (0;0),что и показано штриховкой на рис.1. Аналогично определяем области решения для остальных неравенств системы.

Строится многоугольник решений. Областью решения системы пяти неравенств в данном случае будет треугольник М, ограниченный данными тремя граничными прямыми.

Строится график линейной формы и направляющий вектор N. Направляющий вектор выходит из начала координат к точке с координатами коэффициентов при целевой функции, т.е. в нашем примере к точке с координатами (1;-3). Вектор N показывает направление возрастания целевой функции, он всегда перпендикулярен линии уровня целевой функции, поэтому строим прямую проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору N. Это и будет линия уровня целевой функции.

Определяется экстремальная точка многоугольника. В рассматриваемом примере необходимо найти минимум целевой функции, поэтому следует перемещать линию уровня целевой функции параллельно самой себе в направлении противоположном вектору N до тех пор пока линия уровня не станет опорной прямой. Крайнее положение в треугольнике М прямая занимает в двух точках Б и А. В точке Б будет максимум целевой функции, а в А – минимум.

Координаты искомой точки при хорошем качестве построения можно определить по чертежу, если это сделать трудно (координаты представляют собой дробные числа) необходимо их вычислить аналитически, решив совместно систему уравнений граничных прямых, пересечение которых образует искомую точку. В нашем случае необходимо решить следующую систему уравнений:

Точка А имеет координаты (3;5)

Вычисляется значения целевой функции в полученной точке

Сmin=3-3*5=-12

Тема 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод, разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный – начальное опорное решение. Оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов.

Схема решения задачи линейного программирования симплексным методом состоит из следующих основных этапов.

Математическая формализация задачи;

Приведение системы ограничений к каноническому виду;

Поиск опорного решения и нахождение базиса задачи;

Построение первой симплексной таблицы;

Проверка плана на оптимальность;

Последовательное улучшение плана до получения оптимального.

Рассмотрение всех этапов нагляднее всего проводить на конкретном примере.

ПРИМЕР

Планируется выпустить два вида продукции. Для производства единицы продукции первого вида требуется 12 кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 2 кг сырья третьего вида. Для производства единицы продукции второго вида требуется 3 кг сырья первого вида, 6 кг сырья второго вида и 14 кг сырья третьего вида. Наличие сырья первого вида - 264 кг; второго - 148 кг; третьего - 280 кг. Прибыль от реализации единицы первой продукции - 6 усл.д.е., от реализации единицы продукции второго вида - 4 усл.д.е. Требуется разработать оптимальный план выпуска продукции, максимизирующий суммарную прибыль.

Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Введем неизвестные х1?0 и х2?0, соответствующие количествам продукции первого и второго вида, планируемых к производству.

Суммарный расход сырья первого вида будет 12х1 + 3х2;

Суммарный расход сырья второго вида - 4х1 + 6х2;

Суммарный расход сырья третьего вида - 2х1 + 14х2.

Поскольку запасы сырья ограничены, то получаем систему ограничений:

Целевая функция, соответствующая условиям задачи, будет иметь вид:

Z = 6х1 + 4х2 ? max.

От общей формы модели переходят к канонической форме путем введения трех дополнительных неизвестных х3, х4 и х5. Дополнительные переменные в ограничениях типа ? обозначают недоиспользованные ресурсы. Модель принимает следующий вид:

Z = 6х1 + 4х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 ? max

Поиск опорного решения и базиса задачи.

Для нахождения опорного решения необходимо основные переменные (переменные, которые были в системе ограничений до приведения ее к каноническому виду, называются основными переменными задачи) приравнять к нулю, тогда дополнительные переменные будут равны соответствующим свободным членам. В нашем примере опорное решение имеет вид:

Хопор={х1=0, х2=0, х3=264, х4=148, х5=280}

Переменные, отличные от нуля в опорном решении называются базисными переменными. Итак, базисными переменными будут

Бх={х3, х4, х5}

Построение первой симплексной таблицы.

В литературе существует много способов построения симплексных таблиц (полные и сокращенные). Мы разберем один из них - способ построения полной симплексной таблицы (табл. 1). Введем следующие обозначения:

i – обозначим номер ограничения;

Бх - базис задачи;

bi - свободные члены;

? - симплексное отношение (тета)

На любом этапе задачи базисные переменные всегда равны соответствующим свободным членам. Строки таблицы – это соответствующие коэффициенты при переменных задачи в рассматриваемом ограничении. Последняя строка симплексной таблицы называется С-строка (нижняя, индексная), заполняется по следующему правилу: если задача решается на максимум, то коэффициенты целевой функции заносятся с противоположным знаком, а при решении задачи на минимум знак при коэффициентах не изменяют.

В первой симплексной таблице значение целевой функции равно 0, т.к. значение основных переменных равно 0.

Таблица 1

Первая симплексная таблица

i Бх bi Основные переменные Дополнительные переменные. ?

х1 х2 х3 х4 х5

1 х3 264 12 3 1 0 0 22

2 х4 148 4 6 0 1 0 37

3 х5 280 2 14 0 0 1 140

С 0 -6 -4 0 0 0

Проверка плана на оптимальность.

План считается оптимальным при решении задачи на максимум в том случае, если в индексной строке отсутствуют отрицательные коэффициенты. При решении задачи на минимум наоборот добиваются неположительности коэффициентов С-строки.

В нашем случае план не оптимален, следовательно, необходимо переходить к этапу последовательного улучшения плана.

Последовательное улучшение плана.

Последовательное улучшение плана сводится к отысканию нового базиса задачи. Для перехода к новому базису из старого удаляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из числа свободных.

Чтобы определить какую из переменных надо ввести в базис необходимо найти разрешающий столбец. Для этого просматриваем индексную строку симплексной таблицы:

если решаем задачу на максимум, то разрешающим будет столбец, содержащий наибольший по модулю отрицательный элемент:

если решаем задачу на минимум – то наибольший положительный.

В нашем случае разрешающим столбцом, будет столбец содержащий переменную х1.

Для определения переменной, которую необходимо из базиса вывести определяется разрешающая строка. Для ее определения необходимо вычислить симплексное отношение.

Симплексное отношение (?) = элементы столбца свободных членов

соответствующие элементы разрешающего столбца

Значения симплексного отношения заносятся в таблицу.

Среди полученных отношений выбирают наименьшее неотрицательное симплексное отношение, как при решении задачи на минимум, так и при решении на максимум. Нулевое симплексное отношение определяет разрешающую строку в том случае, если в знаменателе этого отношения находится положительное число. Если получилось несколько одинаковых симплексных отношений, то выбирают любую строку в качестве разрешающей.

В рассматриваемом примере разрешающей строкой будет строка, содержащая переменную х3.

На пересечении разрешающей строки и столбца находится разрешающий элемент. В нашей задаче разрешающим элементом будет 12.

После отыскания разрешающего элемента переходят к построению новой симплексной таблицы. Для ее построения используют следующие правила :

На месте разрешающего элемента в новой таблице ставят 1;

Элементы новой таблицы, соответствующие разрешающему столбцу равны 0;

Элементы, соответствующие разрешающей строке в новой таблице рассчитываются путем деления каждого на разрешающий элемент;

Обыкновенные элементы (т.е. все остальные) рассчитываются по правилу прямоугольника, выраженному формулой

,

где bij – обыкновенный элемент новой симплексной таблицы;

ars – разрешающий элемент (в «старой» симплексной таблице);

aij – элемент главной диагонали прямоугольника «старой» симплексной таблицы;

ais, arj – элементы побочной диагонали прямоугольника «старой» симплексной таблицы.

Построенная новая симплексная таблица по вышеперечисленным правилам представлена в таблице 2.

Таблица 2

Вторая симплексная таблица

i Бх bi Основные переменные Дополнительные переменные. ?

х1 х2 х3 х4 х5

1 х1 22 1

0 0 88

2 х4 60 0 5

1 0 12

3 х5 236 0

0 1

С 132 0

0 0

При проверке плана на оптимальность, видим, что в индексной строке опять присутствует отрицательный элемент, следовательно, необходимо дальнейшее улучшение плана, т.е. повторение 6 этапа – улучшения плана по тем же правилам.

Для построения следующей симплексной таблицы найдем разрешающий элемент: разрешающий столбец – столбец содержащий переменную х2. разрешающая строка – х4. Разрешающим элементом будет – 5.

Новая таблица представлена в таблице 3.

Таблица 3

Вторая симплексная таблица

i Бх bi Основные переменные Дополнительные переменные. ?

х1 х2 х3 х4 х5

1 х1 19 1 0

0

2 х2 12 0 1

0

3 х5 74 0 0

1

С 162 0 0

0

При просмотре индексной строки видно, что все числа неотрицательны. Следовательно, базисное решение Х=(19; 12; 0; 0; 74) оптимально, обеспечивает максимальное значение целевой функции 162. Таким образом, предприятие получит максимальную прибыль в 162 усл.д.е., если примет план по выпуску 19 единиц первого вида и 12 единиц изделий второго вида, при этом останется неизрасходованным сырье третьего вида в количестве 74 кг.

Тема 3. Модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, производящих определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определенные ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей представленную в таблице.

Таблица 4

Пример межотраслевого баланса

Производственное потребление Конечное потребление Общий выпуск

Отрасль 1 … Отрасль j

… Отрасль n

Отрасль 1 X11 … X1j … X1n Y1 X1

… … … … … … …

Отрасль i Xi1 Xij … Xin Yi Xi

… … … … … … … …

Отрасль n Xn1 … Xnj … Xnn Yn Xn

Вся произведенная продукция разделяется на две части: одна часть продукции идет на потребление в производящих отраслях, а другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства - в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

хij - объем товаров и услуг i-го (i=1,2,…n) сектора, потребляемых в j-ом (j=1,2,…,n) секторе;

Yi - объем продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса;

Xi – общий объем выпуска i-го сектора;

- количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс - это равенство объема выпуска каждого производящего сектора суммарному объему его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса.

В приведенных обозначениях имеем следующие соотношения баланса:

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид:

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) - через Y, а структурную матрицу экономики - матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат - через А, то соотношения баланса в матричной форме будут иметь вид: (E-A)X=Y, где Е - единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как . Матрица называется матрицей полных затрат. Рассмотрим на примере расчет объемов выпуска продукции по отраслям для удовлетворения конечного спроса на основе данных баланса.

ПРИМЕР

Определите требуемые объемы выпуска продукции каждой отрасли, удовлетворяющие внутренний спрос и спрос на конечную продукцию при следующем распределении продукции двух отраслей между собой за отчетный период:

Производственное потребление Конечная продукция

1 отрасль 2 отрасль

1 отрасль 12 20 30

2 отрасль 7 9 40

1. Определяются объемы выпуска продукции каждого вида X1 и X2

X1 = x11 + x12 + Y1 X1 = 12 + 20 + 30 = 62

X2 = x21 + x22 + Y2 X2 = 7 + 9 + 40 = 56

2. Рассчитываются коэффициенты прямых затрат как отношения объемов внутреннего потребления к объемам выпуска, найденным выше.

Матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид:

3. Определяется выражение (Е-А):

4. Находится матрица полных затрат. Обращение матрицы производится по правилу

Для проверки необходимо умножить полученную матрицу на исходный вектор конечного потребления, должен получиться вектор X, найденный в пункте 1.

5. Для определения объемов выпуска, соответствующих планируемым объемам конечного потребления необходимо умножить матрицу полных затрат на вектор планируемых объемов конечного потребления Ypl

Таким образом, для удовлетворения спроса на конечную продукцию в объемах: Y1 = 50 единиц и Y2 = 70 единиц и для удовлетворения внутреннего спроса каждой отрасли необходимо произвести продукцию в объемах X1 =105,203 и X2 = 97,556 единиц соответственно.

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Тема 4. Использование аппарата производственных функций для анализа экономических систем

Производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат с величиной выпуска продукции.

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом. С помощью аппарата производственных функций решаются задачи:

оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

прогнозирования экономического роста;

разработки вариантов плана развития производства;

оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Общий вид производственной функции:

F = F(R1, R2,...,Ri.,...Rn),

где F - показатель, характеризующий результаты производства;

Ri - факторный показатель i-го производственного ресурса;

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических.

Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Экономические предположения состоят в следующем:

при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т. е. выполняется:

F(0,R2,…,Ri,...,Rn) = ...F(R1,R2,...,0,...Rn) = F(R1, R2,... Ri,..., 0)=0

рост использования ресурсов приводит к росту результата производства, т. е. выполняются соотношения:

, при Ri > 0, i = l, 2,...n

увеличение затрат одного ресурса приводит к снижению эффективности его использования:

, i = l, 2,...n

Производственные функции позволяют определять средние и предельные показатели, характеризующие производственный процесс: средние отдачи ресурсов; предельные отдачи ресурсов; коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам; предельные нормы замещения ресурсов; коэффициенты эластичности замещения ресурсов.

Для двухфакторной производственной функции F(K,L), где K – основные фонды, L - трудовые ресурсы, показатели средней отдачи ресурсов определяются по формулам:

,

Частные производные производственной функции по переменным:

,

трактуются как предельные ресурсоотдачи. Коэффициент предельной продуктивности показывает на сколько увеличится выпуск продукции с увеличением затрат одного из ресурсов на «малую» величину.

Предельной нормой замещения ресурса К называется характеристика,

которая показывает, сколько единиц ресурса К может быть высвобождено (привлечено) при увеличении (уменьшении) затрат ресурса L на единицу. Аналогично может быть определена предельная норма замещения ресурса L.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам определяются следующими формулами:

,

Эти коэффициенты показывают, на сколько процентов изменится производство при изменении затрат соответствующего производственного ресурса на один процент.

В экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Смысл изокванты состоит в том, что одно и то же количество продукции F(K,L)=const может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства К и L.

Определим основные характеристики производственной функции на примере.

ПРИМЕР

Производственная функция предприятия имеет вид необходимо определить основные характеристики производства при K=27, L=8. Построить семейство изоквант.

Средняя производительность труда:

стоимость продукции, приходящаяся на единицу трудовых ресурсов

Средняя фондоотдача

стоимость продукции, приходящаяся на единицу основных фондов

Предельная производительность труда

добавочная стоимость продукции, произведенная дополнительной единицей трудовых ресурсов

Предельная фондоотдача

добавочная стоимость продукции, произведенная дополнительной единицей основных фондов

Коэффициенты эластичности по каждому из ресурсов

Коэффициент эластичности лежит в интервале от 0 до 1, следовательно, каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.

Предельная норма замещения основных фондов на трудовые ресурсы

0,31 единица основных фондов может быть заменена единицей трудовых ресурсов, при этом выпуск продукции останется неизменным.

Построение семейства изоквант

Для построения изокванты необходимо производственную функцию приравнять к любой константе и выразить одну переменную через другую. Семейство изоквант представлено на рис. 2.

Рис.2. Семейство изоквант

Тема 5. Моделирование поведения потребителя

При изучении поведения потребителя используются функции полезности и спроса. Функции полезности отражают конечные результаты использования различных потребительских товаров и благ.

В пространстве товаров каждой функции полезности соответствует некоторое семейство непересекающихся поверхностей безразличия, соответствующих определенным уровням потребления набора товаров.

Функции полезности могут быть преобразованы в функции покупательского спроса. Для этого необходимо решить задачу оптимального выбора потребителя, т.е. определить какой товар и в каком количестве лучше взять потребителю, что бы максимизировать потребление в рамках своего дохода с учетом цены каждого товара. Математически задача потребительского выбора представляет собой задачу условной оптимизации и формулируется следующим образом:

U(X1,X2...Xn)?max

при ограничении

p1X1+p2X2+...+pnXn=I, где

U(X1,X2...Xn) – функция полезности, j=1,2, … N – число товаров; pj – цена товара; Xj – количество потребляемого товара; I – доход потребителя

Решение задачи условной оптимизации для функции полезности 2-х переменных сводится к решению следующей системы уравнений: , в результате решения которой определяются функции потребительского спроса на товары Х1 и Х2.

При анализе функций спроса важное значение имеет определение таких экономических показателей как коэффициент эластичности спроса относительно дохода потребителя и коэффициент эластичности спроса относительно цены товара.

Эластичность по доходу представляет собой процентное значение увеличения (уменьшения) спроса на товар при увеличении (уменьшении) дохода на один процент.

Товар называют товаром с неэластичным спросом по доходу, если эта эластичность меньше +1, и с эластичным спросом по доходу, если она больше +1.

Эластичность спроса по цене является мерой чувствительности спроса на изменение цены. Различают прямые и перекрестные эластичности по цене. В первом случае измеряется изменение спроса на товар при изменении на 1% его же цены, во втором — при изменении также на 1% цены другого товара. Эластичный спрос по цене наблюдается, если коэффициент эластичности по модулю больше 1, и неэластичный в противном случае. Важное значение при анализе имеет расчет перекрестного коэффициента эластичности, если перекрестный коэффициент эластичности отрицателен, то товары являются дополняющими, если равен нулю — независимыми, если положителен — конкурирующими.

ПРИМЕР

Решите задачу потребительского выбора, определив функции спроса на товары X1 и X2 при функции полезности потребителя . Рассчитайте спрос на товары Х1 и Х2 согласно следующим исходным данным: доход потребителя составляет I=60 усл.д.е., а цены товаров соответственно равны р1=1, р2=2 усл.д.е.

Решение задачи потребительского выбора сводится к решению следующей системы уравнений:

Для получения функций спроса необходимо решить полученную систему уравнений в общем виде. Выразим из первого уравнения переменную и подставим во второе уравнение: . Из полученного выражения определим функцию спроса на второй товар: , затем, подставив полученную функцию в выражение для X1, определим функцию спроса на первый товар .

Согласно исходным данным задачи, потребителю при существующих ценах на товар и собственном доходе I=60 усл.ден.ед. необходимо покупать товар Х1 в количестве 40 ед., товар Х2 в количестве 10 ед., при этом функция полезности будет максимальной U=11.25

ВЫБОР ВАРИАНТА И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант контрольной работы выбирается по таблице 5.

Таблица 5

Выбор варианта контрольной работы

Первая буква фамилии Последняя цифра шифра

1,0 2,9 3,8 4,7 5,6

А, Ж, Н, У, Я 1 7 13 19 25

Б, З, О, М 2 8 14 20 26

Г,В, И, П, Ц, Ч 3 9 15 21 27

К, Р, Ш, Щ, Е, 4 10 16 22 28

Д, Л, Э, Ю, Т 5 11 17 23 29

С, Ф, Х, Ё 6 12 18 24 30

Задание №1

Решите следующие задачи графическим методом.

Таблица 6

Таблица для выбора задания №1

№ Критерий оптимизации Ограничения № Критерий оптимизации Ограничения

1 2 3 4 5 6

1 X1 + 4X2 ? min X1 + 5X2 ? 0

-X1 + 2X2 ? 0

5X1 - X2 ? 0

-X1 - 5 X2 ? 0

X1 + 5X2 ? 10

X1 ? 0, X2 ? 5 16 X2 ? max X1 - 6X2 ? 6

-3X1 +X2 ? 3

X1 + 5X2 ? -5

X1 - 6X2 ? 0

X1 + 5X2 ? 5

X1 ? 0, X2 ? 0

2 3X1+X2+2 ? min X1+X2 ? 2

X1-X2? 2

4X1-4X2?-8

X1?1, X2?4 17 8X1 + 4X2 ?max X1 + X2 ? 30

5X1 + 2X2 ? 10

X1 ? 1, X2 ? 0

3 3X1+4X2 ? max -1 ? -X1+X2 ? 1

X1+X2 ? -1

-X1+2X2 ? 2

2X1-X2 ? 2

X1 ? 0

X2 ? 0 18 - X2 + 6 ? max X1 + 4X2 ? 8

-3X1 + X2 ? 0

X1 - 6X2 ? 0

X1 + 2X2 ? 6

3X1 + X2 ? 6

X1 ? 0

X2 ? 2

4 3X1+8X2 ? max -2 ? X1+X2 ? 2

-2 ? -X1+X2 ? 2

-1 ? X1 ? 1

X2 ? 0 19 2X1+X2+4?max X1+X2 ? 4

8X1-4X2 ? -16

X1?2

X2?9

Продолжение таблицы 6

1 2 3 4 5 6

5 X1 - 3X2 ? min X1-X2? 3

2X1+X2 ? 3

X1-3X2? 1

X1 ? 0

X2 ? 0 20 -X1-2X2+6?min 2X1 - 7 X2 ? 0

X1 + 4X2 ? 2

2X1 - 3 X2 ? 3

X1 + 4 X2 ? -4

X1 + 3X2 ? 0

X1 ? 0, X2 ? 8

6 2X1 +3X2 ? min X1+X2? 4

6X1+2X2 ? 8

X1+5X2 ? 4

0 ? X1 ? 3

0 ? X2 ? 3 21 3X1 - X2 ? min 2X1 + 5 X2 - 10? 0

2X1 + X2 ? 6

X1 + 2X2 – 2 ? 0

X1 ? 0

X2 ? 0

7 3X1+4X2 ? max -1 ? -X1+X2 ? 1

X1+X2 ? -1

-X1+ 2X2 ? 2

2X1-X2 ? 2

X1 ? 0, X2 ? 0 22 4X1 + 2X2 ?max -X1 + 3X2 ? 9

2X1 + 3X2 ? 18

2X1 - X2 ? 10

X1 ? 0

X2 ? 0

8 2X1 + X2 ? max -X1-X2 ? -4

5X1+ X2 ? 20

2X1- 2X2 ? 7

X1+ X2 ? 4

X1 ? 0

8 ? X2 ? 0 23 X1 + 3X2 ? max X1 + 3X2 – 3 ? 0

2X1 + X2 ? 0

-X1 - 4X2 ? 0

4X1 - X2 ? 0

X1 ? 1

X2 ? 0

9 -X1 +6X2 ? min X1 + 2X2 ? 0

4X1+ 2X2 ? 8

X1 - 4X2 ? 0

X1 + 6X2 ? 4

-2X1 + 4X2 ? 0

X1 ? 1, X2 ? 2 24 4X2 ? min X1 - 3X2 ? 3

4X1 + 6X2 ? 8

X1 + 2X2 ? 0

2X1 - 3X2 ? 0

X1 ? 0

4 ? X2 ? 0

10 X1-4X2+6? min 4X1 - X2 ? 1

X1 + 3X2 ? 6

2X1 - 6X2 ? 6

X1 + 2X2 ? 1

X1 ? 0, X2 ? 1 25 3X1 +4X2 ?max X1 + X2 ? 6

2X1 - X2 ? 0

X1 + X2 ? 2

-X1 - 4X2 ? 0

X1 ? 0, X2 ? 0

11 6X1 - X2 ?max 0 ? X1+X2 ? 6

2 ? 4X1-X2 ? 8

0 ? 2X1 + 3X2? 12

0 ? X1 ? 1

1 ? X2 ? 3 26 4X1 + 6X2?min 3X1 + X2 ? 9

X1 + 2X2 ? 8

X1 + 6X2 ? 12

X1 ? 0, X2 ? 0

12 10X1 - 3X2 ?max -6 ? X1- 6X2 ? 0

-4 ? 2X1-X2 ? 4

3 ? X1 + 3X2? 9

X1 ? 1, X2 ? 2 27 -2X1 + 5X2?min 7X1 + 2X2 ? 14

5X1 + 6X2 ? 30

3X1 + 8X2 ? 24

X1 ? 0, X2 ? 0

Продолжение таблицы 6

1 2 3 4 5 6

13 X1 - 3X2 ?max 4X1 + 6X2 ? 12

2X1 - 8X2 ? 4

6X1 - X2 ? 0

X1 - 6X2 ? 0

X1 + 3X2 ? 3

2 ? X1 ? 0

6 ? X2 ? 1 28 5X1 - 3X2 ?min 4X1 + 6X2 ? 16

X1 + 3X2 ? 3

2X1 - 3X2 ? 0

3X1 + 4X2 ? 6

-X1 - 6X2 ? 0

X1 ? 0

5 ? X2 ? 0

14 4X1 + 3X2 ?max X1 + 2X2 ? 0

6X1 - X2 ? 12

X1 + 4X2 ? 2

4X1 + 3X2 ? 6

X1 ? 0, X2 ? 0 29 3X1 - X2 ?min 2X1 + X2 ? -4

X1 + 2X2 ? 6

2X1 + X2 ? 2

X1 ? 1, X2 ? 0

15 3X1 - 2X2 ?min -3X1 + 12X2 ? 4

X1 - 4X2 ? 2

2X1 + 3X2 ? 6

X1 + X2 ? 0

1 ? X1 ? 4

0 ? X2 ? 3 30 4X1 + 6X2 ?max 3X1 + X2 ? 9

X1 + 2X2 ? 8

X1 + 6X2 ? 2

X1 ? 0, X2 ? 0

Задание №2

Решить задачу оптимального планирования выпуска продукции симплексным методом при следующих условиях.

Для изготовления двух видов продукции используются три вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается а1 кг сырья первого вида, а2 кг сырья второго вида и а3 кг сырья третьего вида. При производстве единицы продукции второго вида затрачивается в1 кг сырья первого вида, в2 кг сырья второго вида и в3 кг сырья третьего вида. Запасы сырья первого вида составляют А кг, второго - Б кг, третьего - В кг. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет Р1 руб., от реализации единицы продукции второго вида - Р2 руб.

Исходные данные в зависимости от варианта приведены в таблице 7.

Таблица 7

Таблица для выбора задания №2

№ а1 а2 а3 в1 в2 в3 А Б С Р1 Р2

1 14 14 6 5 8 12 350 392 408 10 5

2 16 9 6 4 9 12 400 333 360 9 12

3 12 4 3 3 5 14 284 136 266 6 4

4 14 4 3 4 4 12 252 120 240 30 40

5 15 4 4 2 3 14 285 113 322 15 9

6 16 3 3 2 2 15 304 83 375 10 12

7 13 4 3 2 4 14 260 124 280 12 10

8 9 7 4 5 8 16 1431 1224 1328 3 2

9 6 5 3 3 10 12 714 910 948 3 9

10 15 5 4 4 3 8 225 100 192 6 8

11 2 3 4 5 6 36 80 102 91 5 11

12 10 8 6 4 6 12 196 168 182 18 10

13 3 2 1 6 5 5 102 80 75 3 10

14 4 2 6 10 10 12 166 138 182 6 20

15 3 4 2 4 7 8 182 807 768 3 2

16 3 4 3 5 8 11 453 616 627 2 5

17 3 4 5 6 3 2 102 91 105 7 9

18 5 3 2 2 3 3 505 393 348 7 4

19 5 4 3 3 3 4 750 630 700 5 6

20 6 4 3 2 3 4 600 520 600 6 3

21 4 7 6 3 5 3 552 607 476 3 6

22 5 5 9 7 1 5 446 503 333 10 12

23 8 7 2 9 9 4 252 321 450 13 7

24 6 5 4 7 2 8 267 444 650 7 12

25 4 5 6 7 8 9 765 655 546 4 3

26 3 2 3 5 5 8 620 345 400 2 7

27 12 6 8 4 3 5 740 455 520 4 5

28 14 3 4 2 9 7 800 390 460 8 10

29 5 3 2 6 4 8 700 620 523 3 6

30 13 7 5 4 1 15 862 642 386 5 11

Задание №3

Определите требуемые объемы выпуска продукции каждой отрасли, удовлетворяющие внутренний спрос и спрос на конечную продукцию в размере Ypl при заданном распределении продукции двух отраслей между собой за отчетный период согласно выбранному варианту по таблице 8.

Таблица 8

Таблица для выбора задания №3

№ варианта Распределение за отчетный период Планируемый объем конечного потребления (Ypl)

Производственное потребление Конечная продукция

1 отрасль 2 отрасль

1 2 3 4 5 6

1 1 отрасль 50 40 160 120

2 отрасль 100 80 20 30

2 1 отрасль 70 85 20 30

2 отрасль 35 42,5 135 40

3 1 отрасль 50 15 25 40

2 отрасль 30 22,5 15 50

4 1 отрасль 70 15 15 20

2 отрасль 20 15 40 50

5 1 отрасль 45 100 80 90

2 отрасль 45 100 105 150

6 1 отрасль 75 90 210 200

2 отрасль 150 180 120 130

7 1 отрасль 90 35 100 120

2 отрасль 45 17,5 25 30

8 1 отрасль 100 50 30 25

2 отрасль 60 75 90 110

9 1 отрасль 140 45 15 20

2 отрасль 40 45 140 130

10 1 отрасль 35 50 90 120

2 отрасль 35 50 40 230

11 1 отрасль 30 25 95 105

2 отрасль 60 50 15 20

12 1 отрасль 110 65 100 120

2 отрасль 55 32,5 75 90

13 1 отрасль 150 70 50 70

2 отрасль 90 105 120 130

Продолжение таблицы 8

1 2 3 4 5 6

14 1 отрасль 210 25 65 80

2 отрасль 60 25 40 60

15 1 отрасль 55 60 160 120

2 отрасль 55 60 35 30

16 1 отрасль 40 70 90 120

2 отрасль 80 140 130 110

17 1 отрасль 130 60 135 120

2 отрасль 65 30 55 80

18 1 отрасль 75 20 40 50

2 отрасль 45 30 15 20

19 1 отрасль 280 30 90 85

2 отрасль 80 30 40 50

20 1 отрасль 65 70 190 200

2 отрасль 65 70 40 50

21 1 отрасль 25 30 70 90

2 отрасль 50 60 40 35

22 1 отрасль 150 45 180 200

2 отрасль 75 22,5 15 20

23 1 отрасль 125 30 70 90

2 отрасль 75 45 15 25

24 1 отрасль 175 35 40 50

2 отрасль 50 35 90 130

25 1 отрасль 75 80 220 200

2 отрасль 75 80 45 30

26 1 отрасль 50 40 160 120

2 отрасль 35 42,5 135 40

27 1 отрасль 70 15 15 20

2 отрасль 30 22,5 15 50

28 1 отрасль 90 35 100 120

2 отрасль 150 180 120 130

29 1 отрасль 140 45 15 20

2 отрасль 45 17,5 25 30

30 1 отрасль 150 70 50 70

2 отрасль 60 50 15 20

Задание №4

Для производственной функции F(K,L) (вид производственной функции зависит от номера вашего варианта таблица 9), где K-объем основных фондов, L – объем трудовых ресурсов (объем ресурсов и выпуск продукции даны в стоимостном выражении) определите следующие основные характеристики.

Предельная ресурсоотдача по каждому ресурсу в общем виде;

Средняя ресурсоотдача по каждому ресурсу в общем виде;

Предельная норма замещения основных фондов на трудовые ресурсы;

Коэффициент эластичности по каждому из ресурсов;

Рассчитайте основные характеристики при K=N+1; L=Т+2 (где N предпоследняя цифра шифра, а T – последняя цифра шифра), проанализируйте полученные результаты;

Постройте семейство изоквант.

Таблица 9

Таблица для выбора задания №4

№ F(K,L) № F(K,L) № F(K,L)

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30

Задание №5

Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности потребителя . (N предпоследняя цифра шифра;T – последняя цифра шифра)

Рассчитайте спрос на товар Х1 и Х2 согласно исходным данным вашего варианта (таблица 10), если доход потребителя составляет I усл.д.е., а цены товаров соответственно равны р1 и р2 усл.д.е.

Определите прямые и перекрестные коэффициенты эластичности спроса по цене, коэффициент эластичности спроса по доходу потребителя. Проанализируйте полученные результаты.

Таблица 10

Таблица для выбора задания №5

№ I p1 p2 № I p1 p2 № I p1 p2

1 120 24 2 11 560 32 15 21 150 12 14

2 100 4 12 12 240 24 20 22 81 9 7

3 340 20 15 13 160 32 22 23 250 24 15

4 80 2 10 14 90 18 6 24 220 10 22

5 54 3 8 15 680 74 68 25 168 14 28

6 130 5 14 16 55 12 1 26 180 4 16

7 300 20 25 17 72 15 3 27 2000 90 100

8 150 5 10 18 48 6 8 28 1500 70 20

9 1500 40 20 19 12 3 2 29 2100 21 12

10 480 26 12 20 330 56 32 30 45 2 3

ОФОРМЛЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ И ЕЕ РЕЦЕНЗИРОВАНИЕ

Контрольную работу рекомендуется выполнять в ученической тетради в рукописном варианте. На титульном листе тетради следует указать:

Контрольная работа по учебной дисциплине “Математика (экономико-математические методы и модели)»”;

Факультет – экономический

Проверяющую кафедру – «экономическая кибернетика»,

Курс, номер учебной группы;

Фамилию, имя, отчество

Номер зачетной книжки автора контрольной работы;

Почтовый адрес автора.

Каждая страница работы должна иметь поля для замечаний проверяющего. В начале каждого раздела контрольной работы следует привести полную формулировку индивидуального задания. Затем нужно записать подробно алгоритм решения задачи и результат выполнения этого задания. В конце работы помещают: библиографический список рекомендованных для выполнения работы литературных источников, дату и подпись автора. Излагать материал работы следует с исчерпывающей полнотой в соответствии с полученными вариантами заданий.

Законченная и правильно оформленная работа предъявляется студентом в деканат для обязательной регистрации, а затем деканат передает работу для рецензирования на кафедру экономической кибернетики. Работа, выполненная неаккуратно, неправильно оформленная или выполненная не для своего варианта задания, к рецензии не принимается. При обнаружении недостатков в работе рецензент делает пометку “Исправить”, и работа через деканат возвращается студенту. Студент записывает исправленные задания в раздел “Работа над ошибками” и сдает работу в деканат. При правильно выполненной работе на ней ставится пометка “Допущен к собеседованию”, и студент допускается к собеседованию с преподавателем-рецензентом.

Студент согласует с рецензентом время собеседования. Во время собеседования студент должен продемонстрировать полное владение материалом своей контрольной работы, дать исчерпывающие и точные ответы на все вопросы рецензента, касающиеся контрольной работы. При положительном итоге собеседования работа студента принимается с оценкой “Зачтено”. Зачтенная контрольная работа хранится у студента и предъявляется им непосредственно на экзамене. Без такого предъявления студент к экзамену не допускается

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. –СПб,: Союз, 1999. –320с.

Ведина О.Н., Десницкая и др. Математика. Математический анализ для экономистов. Учебник/ Под ред Гриба и др. М: Инф.-Изд. дом «Филинъ», 2001, -360с

ЗамковО.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Учебник. М. МГУ, Изд-во ДИС, 1998, -386с.

Ларионов А.И. Юрченко Т.И.,Новоселов А.Л. Экономико-математические методы в планировании. М.: Высшая школа, 1991

Лачуга Ю.Ф., Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Прикладная математика М.:Колос,2001. –211с.

Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь, М.,Наука, 1987 г.,510 стр.

Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. –М.:ИНФРА – М, 2001. –356с.

Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А.Орехова.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. -302с.

Матаматические методы в планировании отраслей и предприятий /Л.И.Евенко, Г.В.Виноградов, А.Д.Смирнова и др. под. Ред. Попова И.Г., М.:1981

Математические модели экономических процессов в с/х /под ред. А.М.Гатаулина М.: Агропромиздат, 1990

Солодовников А.С., БабайцевВ.А., Браилов А.В. Математика в экономике. М. Финансы и статистика, 1999 (часть 1,2)

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев и др. М: ЮНИТИ, 2001, -391с.