В Закладки

Главная
Официальная
Новости
Курсовые работы
Дипломные проекты
Лекции и конспекты
Рефераты
Софт
Ссылки
Справочник Студента
Гостевая

Почта


Поиск по сайту:

          


















Министерство образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Константинов И. А., Лалина И.И.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Применение программы SCAD для решения задач теории упругости

Учебное пособие
Санкт-Петербург
2004
УДК 624.04: (075.8)
К о н с т а н т и н о в И. А., Л а л и н а И. И. Строительная механика.
Применение программы SCAD для решения задач теории упругости. Учеб. пособие.
СПб: Изд-во СПбГПУ, 2004. с .
Пособие соответствует государственному образовательному стандарту
дисциплины “Строительная механика” инженерной подготовки по всем
специальностям направления “Строительство”.
На примере программы SCAD реализуется идея использования современных
проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике для
расчетов и проектирования строительных конструкций, при изучении раздела
“Теория упругости” дисциплины “Строительная механика” на инженерно-
строительных факультетах вузов.
Табл. . Ил. . Библиогр.: назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ

стр
Предисловие………………………………………………………………………………….
5
ЧАСТЬ I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ..……………………
7
1.Представление о задачах и методах теории упругости….…………………………...
7
1.1. Основная задача …………………...……………………………………………........
7
1.2. Основные допущения и гипотезы……………………………………….…………..
11
1.3. Методы решения основной задачи …………………...…………………………..
12
1.4. Обозначения искомых величин ……………………........................………..………
13
1.5. Два случая, когда пространственная задача приводится к плоской задаче……
15
2. Плоская задача теории упругости……………………………………………………
17
2.1. Статические уравнения…………………………………………………....................
17
2.2. Геометрические уравнения……….………………………………………………….
19
2.3. Физические уравнения (уравнения закона Гука) ……………………………….
21
2.4. Полная система уравнений…………………………………………………………..
22
2.5. Идея и последовательность решения методом конечных элементов…………….
25
2.6. Типы конечных элементов, используемых в программе SCAD для решения
плоской задачи....................................................................................................................
30
3.Пример расчета балки-стенки с помощью программы SCAD……………………...
34
3.1. Постановка задачи……………………………………………………………………
34
3.2. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 1…………………………..
34
3.3. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 2…………………………..
36
3.4. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 4…………………………..
38
4. Расчет тонких плит…………………………………………………………………........
43
4.1. Пространственное тело, рассматриваемое как тонкая плита..……………………
43
4.2. Рабочие гипотезы, применяемые при расчете пространственного тела в виде
тонкой плиты………………………………………………………………………………..
45
4.3. Неизвестные величины при расчете тонкой плиты и формулы для их
определения……………………………………………………………………………….
49
4.4. Основное уравнение для определения прогибов тонкой плиты.
Последовательность решения задачи по получению ее НДС ………………………...
57
4.4. Типы конечных элементов, используемых в программе SCAD для расчета
тонких плит ...................................................................................................................
59
4.5. Использование симметрии тонкой плиты и симметрии или обратной
симметрии нагрузки на нее…………………………………………………………………
4.6. Балочные плиты и примеры их расчета……………………………………………
4.7. Примеры расчета плит с помощью таблиц и МКЭ………………………………
ЧАСТЬ II. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГРАММЫ SCAD ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ ПОДЗЕМНОГО
СООРУЖЕНИЯ ИЗ МОНОЛИТНОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОНА……………….………….
6. Постановка задачи……………………………………………………………………...
6.1. Краткое описание схемы сооружения ……………………………………………
6.2. Нагрузки на элементы сооружения с учетом его функционального назначения .
6.3. Варианты расчетной схемы сооружения... .…………………………...
7. Расчет верхней плиты как плиты защемленной по контуру....................
7.1. Выделение фрагмента плиты в качестве ее приближенной расчетной схемы…....
7.2. Отдельные этапы выполнения расчета выделенного фрагмента плиты с помощью
программы SCAD…………………………………………………………..
8. Инструкция по работе с программой SCAD…….……………………………..
8.1. Инструкция по работе с программой SCAD на первом этапе….……………..
8.2. Инструкция по работе с программой SCAD на втором этапе….…………….
8.3. Инструкция по работе с программой SCAD на третьем и четвертом этапах..
8.3. Инструкция по работе с программой SCAD на третьем и четвертом этапах..…
8.4. Инструкция по работе с программой SCAD на пятом и шестом этапах………
8.5. Инструкция по работе с программой SCAD на седьмом этапе…………………..
9. Расчет стены сооружения, как плиты, защемленной по контору .…..…………...
9.1. Выделение фрагмента стены в качестве ее расчетной схемы………………….
9.2. Подсчет нагрузок на стену………………………………………………………..
9.3. Расчет стены с использованием программы SCAD по схеме балки…………...
9.4. Расчет стены с использованием программы SCAD по схеме фрагмента плиты
разбитого на конечные элементы оболочечного типа (тип 41)………………………….
10. Расчет нижней плиты, как плиты на основании модели Винклера..……………
10. 1. Выделение фрагмента плиты в качестве ее расчетной схемы..…………………
10.2. Учет симметрии выделенного фрагмента..……………………………………….
10.3. Загружение фрагмента нижней плиты.…………………………………………...
10.4. Результаты расчета перемещений и усилий в нижней плите.…………………..
11. Уточнение расчетной схемы сооружения за счет использования единого
пространственного фрагмента …………………………………………………………..
11.1. Выделение пространственного фрагмента сооружения в качестве его расчетной
схемы……………………………………………………………………………..
11.2. Использование возможностей программы SСAD для построения пространственной
расчетной схемы МКЭ для выделенного фрагмента сооружения….
11.2.1. Построение расчетной схемы верхней плиты .…………………………….
11.2.2. Построение расчетной схемы нижней плиты .………………………….…
11.2.1. Построение расчетной схемыстены…………...……………………………
11.3. Загружения пространственного фрагмента……………………………………...
11.4. Результаты расчета пространственного фрагмента и их сопоставление с результатами
расчета по предыдущим расчетным схемам……………………………...
11.4.1. Результаты расчета верхней плиты………………………………………...
11.4.2. Результаты расчета нижней плиты………………………………………...
11.4.3. Результаты расчета стены…….……………………………………………
12. Расчет сооружения как единой пространственной системы..……………………
12.1. Составление пространственной расчетной схемы с учетом симметрии сооружения и
нагрузки…..…………………………………………………………………
12.2. Результаты расчета и их сопоставление с результатами расчета по предыдущим
расчетным схемам….……………………………………………………….
12.4.1. Результаты расчета верхней плиты……………………………………….
12.4.2. Результаты расчета нижней плиты……………………………………….
12.4.3. Результаты расчета стены…….………………………………………….
ПРЕДИСЛОВИЕ
Необходимость в использовании в учебном процессе
проектно - вычислительных комплексов для ПЭВМ
В настоящее время при проектировании строительных конструкций в
проектных организациях значительная часть расчетов выполняется на
персональных компьютерах (ПК) с помощью специальных проектно-
вычислительных комплексов (ПВК), в которых отражаются и используются
самые современные достижения по расчету и проектированию сооружений.
Подготовка инженеров строительных специальностей должна учитывать
это обстоятельство и включать в себя и обучение методам компьютерного
проектирования сооружений с использованием тех ПВК, которые доступны для
внедрения в учебный процесс в настоящее время.
Необходимо учитывать и то, что многие студенты имеют компьютеры
дома и имеют возможность использовать их для выполнения заданий и
курсовых работ и проектов.
Причина выбора ПВК SCAD для использования в учебном процессе
преподавания дисциплины “Строительная механика” на инженерно-
строительном факультете СПбГПУ
Применяемые в инженерной практике проектирования строительных
конструкций ПВК отличаются друг от друга методическими и сервисными
разработками, но все они включают в себя статические и динамические расчеты
конструкций и отдельных их частей, выполняемые методами строительной
механики. Алгоритмы численных расчетов в этих программах в основном
строятся на методе конечных элементов (МКЭ), реализуемом в форме метода
перемещений.
Не ставя задачу качественного сопоставления между собой различных
ПВК, отметим, что в настоящее время (2003/2004 учебный год) наиболее
доступным для применения в учебном процессе на инженерно-строительном
факультете СПбГПУ при решении задач строительной механики оказался ПВК
Structure construction automatic design (SCAD), разрабатываемый на Украине в г.
Киев группой специалистов (SCAD Group).
Вычислительный комплекс состоит из нескольких программ. Его основой
является программа SCAD. Она проста для использования в учебном
процессе, как при изучении строительной механики, так и при дальнейшем
продолжении обучения, связанном с расчетом металлических и
железобетонных конструкций.
Кафедра строительной механики и теории упругости использует
программу SCAD в своем учебном классе ПЭВМ для выполнения студентами
самостоятельных вычислительных работ в дисциплине “Строительная
механика” при изучении разделов “Строительная механика стержневых
систем”; “Теория упругости ”; “Динамика сооружений”.
Необходимость в написании данного учебного пособия
и его структура
По применению программы SCAD при изучении решения статических
задач строительной механики стержневых систем авторами написаны два
учебных пособия [1,2], которые облегчают учащимся выполнение
самостоятельных работ в разделе “Строительная механика стержневых
систем”.
Раздел “Теория упругости” наиболее сложен для изучения студентами,
так как в учебных планах строительных специальностей инженерно-
строительных факультетов изучению методов теории упругости традиционно
отводится мало времени.
Изложить коротко постановку задач теории упругости и методы их
решения аналитическими и численными методами в отводимые для этого в
учебном процессе часы практически невозможно. Это очевидно, если
посмотреть монографию (по сути – учебник) [3], которая рекомендуется
кафедрой “Строительная механика и теория упругости” студентам всех
строительных специальностей ИСФ при изучении теории упругости.
Кроме того, в списке литературы приведены ряд учебников и монографий
по теории упругости, на которые есть ссылки по тексту настоящего пособия.
Дополнительно к таким фундаментальным работам по теории упругости
как книга [3], написанной для изучения тех или иных вопросов теории
упругости, требуется написание более простых учебных пособий, в частности
и настоящего, необходимых учащимся при выполнении конкретных курсовых
работ и проектов.
Данное учебное пособие написано для студентов специальности
“Промышленное и гражданское строительство”, которым при выполнении
проектов по зданиям и сооружениям из монолитного железобетона требуется
определение напряженно-деформированного состояния (НДС)
соответствующих конструкций с использованием методов теории упругости.
Пособие состоит из двух частей. Первая посвящена краткому
ознакомлению с задачами и методами теории упругости, показу их общности и
отличия с задачами и методами сопротивления материалов и строительной
механики стержневых систем. Здесь же дается представление о балках-стенках
и плитах, и приводятся примеры их расчета с помощью программы SCAD.
Во второй части демонстрируется применение программы SCAD к
расчету НДС в элементах пространственного подземного сооружения из
монолитного железобетона при действии статических нагрузок. Здесь кроме
знакомства с программой SCAD делается сопоставление результатов расчетов
по различным расчетным схемам, которые могут быть использованы при
расчете пространственного сооружения.
ЧАСТЬ I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1. Представление о задачах и методах теории упругости
1.1. Основная задача теории упругости
При проектировании гражданских или промышленных сооружений
необходимо обеспечить их прочность, жесткость и устойчивость.
Для достижения этой цели требуется определить напряженно-
деформированное состояние (НДС) сооружения от заданных воздействий
(обычно в виде нагрузки, изменения температуры или в виде заданных
перемещений каких-либо точек сооружения).
Эта задача и является основной задачей механики твердого
деформируемого тела. Изучению методов ее решения посвящены такие
дисциплины как “Сопротивление материалов”, “Строительная механика
стержневых систем”, “Теория упругости”, “Динамика сооружений” и
специальные дисциплины по строительным конструкциям (сооружениям).
Определение НДС сооружения обычно выполняется расчетным путем
с помощью специально разработанных теоретических методов для
некоторой расчетной модели. Затем результаты расчетов проверяются
экспериментально либо в натурных условиях строительства или
эксплуатации уже построенного сооружения, либо в лабораторных условиях
на его физической модели.
Теоретические методы расчета НДС сооружений (или их элементов) в
виде отдельных стержней при растяжении – сжатии, изгибе, кручении, как
в условиях каждого воздействия, так и в условиях сочетания указанных
воздействий, изучаются в дисциплине “Сопротивление материалов”.
Методы расчета НДС сооружений в виде стержневых систем
(ферм, балок, рам, арок) рассматриваются в дисциплине “Строительная
механика стержневых систем” [4- 8].
Однако, многие задачи по определению НДС сооружений или их
элементов, встречающихся в инженерной практике проектирования, не
могут быть решены методами, разработанными в сопротивлении
материалов и строительной механике стержневых систем, или решаются
этими методами с большой погрешностью. Для решения этих более
сложных задач используются методы раздела механики, называемого
“Теория упругости”. Рассмотрим примеры таких задач [9].
Определение НДС толстой балки (балки-стенки). На рис. 1.1,а
изображена тонкая по высоте h балка, когда отношение достаточно
мало для того, чтобы при определении нормальных напряжений в сечениях
балки в можно использовать гипотезу плоских сечений, с помощью которой
в курсе сопротивления материалов получена формула
,
дающая линейное распределение нормальных напряжений по высоте балки.
Здесь M – изгибающий момент в сечении; – момент инерции сечения
относительно оси Z перпендикулярной плоскости XY; y– расстояние от
нейтральной оси сечения до точки сечения, в которой определяется
нормальное напряжение .
С увеличением высоты h балки использование гипотезы плоских
сечений, принятой в курсе сопротивления материалов, применение указанной
формулы будет приводить к увеличению погрешности в определении
нормальных напряжений, так как их реальная эпюра в поперечном сечении
балки является криволинейной.
На рис. 1.1,б для балки с соотношением и l =8 м показан
реальный криволинейный вид эпюры и ее приближенный линейный вид,
полученный по приведенной выше формуле.
Криволинейная эпюра получена на основе решения задачи теории
упругости с использованием численного метода – метода конечных
элементов (МКЭ). Соответствующий пример рассмотрен в главе .
Рама с толстыми стержнями. В курсе строительной механики
стержневых систем при расчете рам с целью построения эпюр усилий
обычно предполагается, что стержни рамы являются достаточно тонкими
(см., например, рис. 1.2,а).
В этом случае стержни в расчетной схеме рамы представляются в
виде осей стержней (рис.1.2,б).

При увеличении толщины стержней рама превращается в некоторое
массивное тело (см. рис. 1.2,в), НДС которого уже нельзя определять
методами строительной механики стержневых систем и сопротивления
материалов.
В тоже время методы теории упругости позволяют получить НДС
подобного рода массивных сооружений.
Задачи по изучению концентрации напряжений. В инженерной
практике часто встречаются сооружения или их элементы, имеющие
особенности конструкции, в результате которых возникает концентрация
напряжений. Такими особенностями, например, являются изломы
геометрии границ сооружения, отверстия и полости, места соединения
элементов друг с другом и с основанием сооружения.
На рис.1.3 показана пластинка с отверстиями, растягиваемая
сосредоточенными силами P.
При приближенном расчете нормальных напряжений в сечении,
ослабленном отверстием, используют формулу сопротивления материалов
,
которая позволяет найти только среднее значение нормальных
напряжений в ослабленном сечении. Расчетным путем концентрация
нормальных напряжений около отверстия, показанная на рис.1.3, а также в
местах приложения сосредоточенных сил может быть получена только
методами теории упругости.
Расчет плит и оболочек. Как уже отмечалось выше, в дисциплинах
“Сопротивление материалов” и “Строительная механика стержневых
систем” рассматриваются методы расчета отдельных тонких
прямолинейных или криволинейных стержней и стержневых систем,
составленных из них. Ширина этих стержней b имеет один порядок с их
высотой h. При этом обе эти величины много меньше длины стержня l.
а)
б)

Рис.1.4
На рис.1.4,а изображен прямолинейный тонкий стержень. Однако в
гражданских и промышленных сооружениях встречаются и элементы
конструкции, ширина которых b много больше высоты h и имеет один
порядок с длиной l (рис.1.4.б). В строительной практике такой плоский
элемент при сохранении малого отношения h/l называют тонкой плитой.
Если тонкий стержень будет представлять собой арку, то при
увеличении размера b получится элемент конструкции, который называется
тонкой оболочкой.
В расчетной схеме подобного рода элементы конструкций в отличие
от тонких стержней изображается не осью, а срединной поверхностью
(срединной плоскостью, если такой элемент плоский).
С увеличением толщины плиты или оболочки они из тонких
превращаются в относительно толстые и толстые.
В строительных конструкциях (сооружениях) плиты и оболочки
опираются на другие элементы и на основание самым различным образом
(шарнирное подвижное и неподвижное опирание, защемление частичное и
полное и т.д.). Эти вопросы рассматриваются в специальных курсах,
посвященных проектированию строительных конструкций (сооружений).
Здесь отметим лишь то, что методы расчета таких важных
элементов строительных сооружений как плиты и оболочки (тонких и
толстых) строятся на основе теории упругости. Теории расчета плит и
оболочек являются по сути разделами теории упругости.
Можно привести и другие примеры, когда для расчета НДС
сооружения используются методы теории упругости.
В учебных планах строительных специальностей ИСФ “Теория
упругости” рассматривается либо как отдельная дисциплина, либо как
раздел дисциплины “Строительная механика”.
1.2. Основные допущения и гипотезы, используемые в теории
упругости
При разработке методов расчета стержней в курсе сопротивления
материалов и при разработке методов расчета стержневых систем в
строительной механике при составлении соответствующих расчетных
схем в большинстве задач принимались следующие основные допущения.
1. Материал, из которого выполнен каждый отдельный стержень
обладает свойством сплошности (он непрерывен по всему объему
рассматриваемого элемента сооружения). Молекулярное строение
материала при построении методики расчета НДС можно не учитывать.
Это допущение позволяет считать перемещения тела как непрерывные
функции координат и применять для решения задач аппарат
дифференциального и интегрального исчисления.
2. Материал является идеально упругим и подчиняющимся закону
Гука, который, например, при растяжении (сжатии) стержня с площадью
F поперечного сечения продольной силой N можно представить
выражением
или .
Здесь – упругая деформация стержня длиной l,
соответствующая его удлинению (укорочению) от силы N на величину ;
– нормальное напряжение в поперечном сечении стержня; E –
модуль продольной упругости материала стержня (модуль Юнга).
Из первого выражения следует, что продольная деформация стержня
прямо пропорциональна продольной силе N и обратно пропорциональна
продольной жесткости стержня . Из второго выражения видно, что
нормальное напряжение в стержне прямо пропорционально продольной
деформации.
После удаления силы N все частицы стержня возвратятся в его
первоначальное (до приложения силы) положение, т.е. деформация стержня
и нормальные напряжения в нем полностью исчезнут.
3. Предполагается, что материал обладает свойством однородности.
Это означает, что во всех точках тела под действием одинаковых
напряжений происходят одинаковые деформации.
4. Материал считается изотропным, т.е. упругие свойства материала
предполагаются одинаковыми во всех направлениях.
5. Перемещения точек и деформации упругого стержня или стержневой
системы малы по сравнению с размерами стержня или стержневой системы.
Это позволяет в расчетах использовать только расчетную схему
недеформированного элемента сооружения или всего сооружения и
использовать принцип суперпозиции (принцип наложения и принцип
независимости действия сил).
В теории упругости в основном используются эти же допущения.
В курсах сопротивления материалов и строительной механики
стержневых систем кроме указанных допущений использовались различного
рода рабочие гипотезы, которые упрощают решение задачи, но заведомо
практически не влияют на результаты расчета. Примерами являются:
гипотеза плоских сечений при определении нормальных напряжений в тонких
стержнях при поперечном изгибе; пренебрежение перемещениями второго
порядка малости узлов стержневых систем при построении классического
метода перемещений в строительной механике стержневых систем и т.д.
В теории упругости подобного рода рабочие гипотезы также
используются. Например, при построении методики расчета тонких плит
используется (по аналогии с гипотезой плоских сечений для тонких
стержней) гипотеза прямых нормалей.
При решении различных задач теории упругости широко используется
принцип Сан-Венана, согласно которому в точках рассматриваемого тела,
достаточно удаленных от места приложения внешней нагрузки,
напряжения практически не зависят от способа приложения этой нагрузки.
Это позволяет использовать в расчетах так называемые статически
эквивалентные нагрузки.
Принцип Сан-Венана можно продемонстрировать на примере
пластины, изображенной на рис.1.3. Согласно этому принципу картина
распределения напряжений в среднем ослабленном сечении и значения
напряжений практически не изменятся, если сосредоточенные
растягивающие силы заменить любой нагрузкой (например, равномерно-
распределенной), для которой сила P будет являться равнодействующей. В
этом случае сосредоточенная сила и равномерно распределенная нагрузка
являются статически эквивалентными.
1.3. Предварительные сведения о постановке и методах решения
основной задачи теории упругости
Учащемуся из курсов сопротивления материалов и строительной
механики стержневых систем уже известно, что исследование НДС
сооружений или их элементов сводится к определению трех типов
неизвестных величин: напряжений (или усилий, по которым затем
определяются напряжения), перемещений и деформаций. При этом
методика расчетов обычно строится так, что сначала находятся
составляющие искомых величин соответствующие некоторым координатным
осям, по которым затем вычисляются другие искомые величины по любым
направлениям.
Для получения неизвестных составляющих напряжений, перемещений
и деформаций составляются три группы уравнений: 1. Уравнения
равновесия (статики), отражающие равновесие любого бесконечно малого
элемента тела; 2. Геометрические уравнения, связывающие между собой
перемещения и деформации; 3. Физические уравнения связи напряжений и
деформаций (в линейно-деформируемом теле – уравнения закона Гука).
Кроме того, на границе тела должны быть выполнены заданные граничные
условия.
На основе сделанных выше допущений о свойствах материала для
расчетной схемы сооружения или его элемента все уравнения являются
линейными, т.е. неизвестные и операции над ними входят только в первой
степени. Это делает справедливым использование принципа суперпозиции
при решении задач по определению НДС.
В данном учебном пособии получение полной системы уравнений для
решения основной задачи теории упругости показано на примере плоской
задачи.
Решение математически поставленных задач теории упругости
выполняется аналитическими или численными методами, с которыми
студенту ИСФ СПбГПУ проще всего можно познакомиться в упомянутом
выше учебнике [3]. В нашем учебном пособии расчет НДС для конкретных
сооружений или их элементов выполняется численным методом в форме
МКЭ, который реализуется в программе SCAD на ПЭВМ.
Перейдем к рассмотрению обозначений неизвестных величин –
составляющих перемещений, напряжений и деформаций, используемых в
теории упругости.
1.4. Обозначения искомых величин
В теории упругости существуют различные варианты обозначения
искомых величин. Здесь приведем вариант обозначений, наиболее часто
использующийся в учебниках по сопротивлению материалов, теории
упругости, специальных дисциплинах и в инженерных и научных работах.
Рассмотрим произвольное пространст- венное тело (Рис.1.5),
находящееся в равновесии под действием внешних и внутренних (например,
собственный вес тела) сил и отнесенное к правой прямоугольной системе
координат X, Y, Z.
На рис.1.5 показан вид на условно изображенное пространственное
тело с положительного конца оси Z .
Компоненты перемещений по направлению координатных осей общей
системы координат какой-либо точки с координатами x, y, z в этом
варианте обозначаются соответственно в виде (см. рис.1.5):
.
Положительными считаются перемещения, которые по направлению
совпадают с положительным направлением соответствующих осей
координат.
Обозначения положительных компонентов напряжений в этой точке,
соответствующих осям общей системы координат в рассматриваемом
варианте, изображено на рис. 1.6, где для удобства показа плоскостей,
проходящих через точку параллельно координатным плоскостям, около
точки выделен бесконечно малый параллеле- пипед так, чтобы
рассматриваемая точка оказалась в его центре тяжести.
Как видно из рис.1.6, положительные направления составляющих
напряжений в рассматриваемой точке тела определяются направлением
площадки, проведенной через эту точку. Если нормаль к площадке – границе
выделенного элемента направлена в ту же (или обратную) сторону, что и
положительное направление оси, которой перпендикулярна площадка, то и
положительные направления составляющих напряжений совпадают с
положительными направлениями соответствующих осей координат (или
имеют обратное направление).
Кроме указанных величин в рассматриваемой точке также
определяются: три относительных продольных деформации

выделенного параллелепипеда в направлениях параллельных осям координат
и его три сдвиговых деформации
.
Деформации характеризуют сдвиг граней выделенного элементарного
параллелепипеда в направлении параллельном плоскости, с осями,
наименование которых совпадает с обозначениями индексов в обозначении
величин деформаций.
Характер этих деформаций показан на рис.1.7,а,б, где отражены
соответственно положительная продольная деформация элемента в
направлении X и положительная сдвиговая деформация параллельная
плоскости XZ.
В теории упругости используются и другие обозначения неизвестных
величин. Однако какие бы обозначения не использовались, они не меняют
суть постановок и методов решения задач.
1.5. Два варианта плоской задачи теории упругости
Все тела имеют три измерения и являются пространственными телами.
Поэтому в общем случае их расчет с целью получения НДС является
решением пространственной задачи. Однако есть два вида
пространственных тел и их загружений, когда решение пространственной
задачи теории упругости для этих тел можно заменить
соответствующими решениями плоской задачи.
1. Плоское напряженное состояние тела. Примером пространст-
венного тела, находящегося в условиях плоского напряженного состояния,
является стена (пластина) длиной l, высотой h и толщиной b<<l, b<<h,
загруженная по торцевым сторонам (стороны, которые имеют толщину
пластины b ) так, что нагрузку можно привести к нагрузке, лежащей в
срединной плоскости пластины. (Рис.1.8). При этом сосредоточенная
нагрузка P считается равномерно распределенной по толщине b с
интенсивностью p=P/b. При распределенной нагрузке интенсивность
нагрузки, например на верхнюю грань пластины f=fb•b, где fb?интенсивность
распределенной нагрузки по толщине пластины. Боковые плоскости
пластины в рассматриваемом случае свободны от нагрузки.
Для тонкой пластины все искомые компоненты напряжений (см.
рис.1.8) можно считать равномерно распределенными по толщине
пластины (в выбранной системе координат не зависящими от координаты
z).
При этом, так как на боковых гранях нет нагрузки, составляющие
напряжений равны нулю не только на боковых гранях пластины,
но и по ее толщине.
С учетом известного еще из курса сопротивления материалов
свойства взаимности (парности) касательных напряжений на взаимно
перпендикулярных площадках (см. его доказательство также в подразделе
2.1) будут равны нулю и касательные напряжения и (см.
рис.1.6).
Таким образом, из-за особенности геометрии тела и характера его
загружения, задача расчета НДС в нем свелась к определению только трех
компонентов напряжений, которые относятся к срединной плоскости тела.
При выбранной на рис.1.8 системе координат этими компонентами являются
нормальные напряжения и касательное напряжение .
Описанное напряженное состояние называется плоским напряженным
состоянием.
Обратим внимание на то, что при действии на пластину нагрузки,
лежащей в срединной плоскости пластины, происходят симметричные
относительно срединной плоскости и поперечные к ней деформации
пластины.
Следовательно, для плоского напряженного состояния характерно
отсутствие составляющих напряжений в направлении оси, перпендикулярной
к срединной плоскости, но наличие деформаций пластины в этом
направлении.
2.Плоская деформация. Примером пространственного тела, которое
можно рассматривать как находящееся в условиях плоской деформации,
является бесконечно длинная подпорная стенка с одинаковым по всей длине
поперечным сечением. Для определенности на рис. 1.9 изображено
некоторое поперечное сечение такой стенки, параллельное координатной
плоскости XOY. В направлении оси Z стенка является бесконечно длинной.
Будем считать, что стенка опирается по нижней стороне
(“подошве”) на некоторое совершенно одинаковое по всей длине стенки
основание (оно условно показано штриховкой).
Нагрузка на стенку такова, что ее вид одинаков для каждого
поперечного сечения (нагрузка не изменяется по направлению оси,
перпендикулярной поперечному сечению стенки).
Выделим из стенки слой двумя сечениями, отстоящими друг от друга
на расстоянии один метр. Получим пластину единичной толщины.
В отличие от случая плоского напряженного состояния такая
пластина не имеет возможности деформироваться в направлении оси Y,
потому что соседние с ней пластины находятся точно в таких же условиях.
Поэтому соседние слева и справа пластины (слои стенки) не дадут
деформироваться рассматриваемому слою в направлении оси Z, т.е.
происходит только плоская деформация подпорной стенки.
Вследствие того, что при взаимодействии слоев , по их боковым
граням возникнут нормальные напряжения .
В реальных условиях подпорная стенка не является бесконечно
длинной. Тогда условия, характерные для плоской деформации, при ее
расчете могут быть использованы только для сечений, расположенных на
достаточно большом расстоянии от концов стенки. Часто такой подход
вполне допустим при решении практических задач.

2. Плоская задача теории упругости
2.1. Статические уравнения
На рис. 1.6 с помощью граней изображенного параллелепипеда были
показаны площадки, проведенные через некоторую рассматриваемую точку
пространственного тела (см. рис.1.5).
Выделенный элемент имеет бесконечно малые размеры dx, dy, dz . Но
мы при изображении векторов напряжений на гранях параллелепипеда
полагали, что эти размеры стремятся к нулю, так как считали, что площадки
с показанными на рис. 1.6 составляющими напряжений проходят
непосредственно через рассматриваемую точку. Поэтому одноименные
составляющие напряжений на левой и правой гранях параллелепипеда
(аналогично на нижней и верхней гранях) изображены соответственно
равными друг другу.
Однако, так как параллелепипед имеет бесконечно малые размеры, то
составляющие напряжений на указанных соответствующих площадках
будут отличаться на бесконечно малую величину.
Это показано на бесконечно малом элементе пластины, выделенном у
произвольной точки A на срединной плоскости пластины (Рис.2.1). Так как
составляющие напряжений не изменяются по толщине пластины, бесконечно
малый размер dz параллелепипеда в направлении оси Z заменим конечным
размером b (толщина пластины). Для случая плоского напряженного
состояния .
Иными словами, для плоской задачи вместо бесконечно малого во всех
направлениях параллелепипеда можно изобразить бесконечно малый
прямоугольник, выделенный из срединной плоскости пластины так, чтобы
точка A находилась в центре прямоугольника, а толщину выделенного
параллелепипеда принять равной толщине пластины b .
Кроме составляющих напряжений, приходящихся на единицу площади
граней элемента, на рис.2.1 в точке A показаны составляющие X и Y
объемных сил элемента, приходящиеся на единицу объема.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента под действием
статически приложенных на него внешних и внутренних сил.
Так как элемент находится в условиях плоской задачи, то действующие
силы должны удовлетворять трем уравнениям равновесия:

(2.1)
Сначала составим уравнение равновесия моментов всех сил
относительно точки A, так как это уравнение позволяет доказать свойство
парности (взаимности) касательных напряжений на взаимно
перпендикулярных площадках элемента, которое позволит упростить запись
следующих двух уравнений:

Моменты от равнодействующих нормальных напряжений по граням
элемента и от составляющих объемных сил элемента равны нулю, поэтому
они не вошли в это уравнение равновесия.
После приведения подобных, сокращения бесконечно малых величин
третьего порядка малости по сравнению с бесконечно малыми величинами
второго порядка и деления на величину получим упомянутое
свойство взаимности касательных напряжений
.
(2.2)
Два других уравнения равновесия элемента после преобразований
принимают следующий вид:

(2.3)
При статическом загружении тела часто единственной статической
объемной силой является собственный вес тела. Тогда при указанной системе
координат (см. рис.2.1) X = 0, .
Обратим внимание на то, что неизвестных составляющих напряжений в
точке – три, а уравнений равновесия только два. Из курса строительной
механики учащемуся известно, что задача, в которой уравнений равновесия
(статики) недостаточно для определения искомых усилий (в данном случае
усилий, отнесенных к единице площади соответствующей площадки,
проходящей через рассматриваемую точку) называется статически
неопределимой.
Для составления дополнительного уравнения необходимо рассмотреть
деформацию элемента. Эта сторона задачи в теории упругости называется
геометрической. Ей посвящен следующий подраздел (2.2) учебного пособия.
Прежде чем перейти к этой стороне задачи теории упругости,
рассмотрим вопрос о граничных условиях, отражающих соответствие
компонентов напряжений в точках тела, расположенных на его границе,
заданным на границе внешним нагрузкам.
На рис. 2.2 изображен бесконечно малый элемент, выделенный из
пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, около
точки A (см. рис.1.8) на ее стороне, наклонной к осям X и Y.
Равновесие этого элемента отражают три уравнения (2.1). Первое
отражает парность касательных напряжений (2.2), а два других будут иметь
соответственно вид:

(2.4)
Уравнения (2.5) называются граничными условиями на контуре тела.
2.2. Геометрические уравнения
Рассмотрим вопрос о перемещениях и деформациях в плоской задаче
ТУ с помощью рис.2.3, на котором изображен описанный в предыдущем
подразделе бесконечно малый в направлениях осей X и Y элемент abcd со
сторонами равными dx и dy и толщиной b в направлении оси Z. На этом
же рисунке элемент показан после деформации тела (пластины) в условиях
плоского напряженного состояния или плоской деформации (элемент
a1 b1 c1 d1 ).
Как видно из рисунка, абсолютное удлинение стороны ad элемента
и относительная деформация этой стороны соответственно составляют
; .
(2.5)
Аналогично для вертикальной стороны ab:
; .
(2.6)
Кроме того, происходит деформация сдвига сторон элемента
.
(2.7)
Так как деформации элемента малы, то
.
(2.8)
Тогда из (2.7) получим
.
(2.9)
Положительным является угол сдвига, который соответствует
уменьшению прямого угла bad элемента.
Таким образом, в результате исследования деформации бесконечно
малого элемента получаются следующие три дифференциальных уравнения,
связывающие компоненты деформаций и перемещений:
; ; .
(2.10)
Из этих уравнений следует, что, если считать три компонента
деформаций известными и поставить задачу определения двух перемещений,
то такая задача будет переопределенной. Решение такой системы при любых
компонентах деформаций не существует, отдельные решения могут
оказаться противоречивыми, а вся система несовместной. Для получения
совместного решения необходимо, чтобы три компонента деформаций были
связаны между собой еще каким-то уравнением. Это уравнение получается
преобразованием системы уравнений (2.10) и имеет вид:
.
(2.11)
Эта связь компонентов деформаций называется уравнением
совместности деформаций. Его соблюдение во всех точках тела
обеспечивает неразрывность деформаций рассматриваемого упругого тела и
позволяет пор известным компонентам деформаций получить однозначное
решение для перемещений путем интегрирования системы уравнений (2.10).
Кроме того, все перемещения и деформации тела должны
удовлетворять граничным условиям в виде заданных на границе тела
перемещений.
2.3. Физические уравнения (закон Гука)
Предположим, что пространственный элемент, изображенный на
рис.1.6, находится под действием только растягивающих (положительных)
напряжений . Тогда, используя известный закон Гука для стержня,
находящегося в условиях растяжения-сжатия, можем записать выражение
для относительной продольной деформации в направлении оси X
.
(2.12)
При этом элемент будет иметь поперечные деформации сжатия в
направлениях осей Y и Z :
.
(2.13)
Здесь E , ? физические характеристики материала при продольных
деформациях, называемые соответственно модулем продольной упругости и
коэффициентом Пуассона материала тела.
Аналогично, при действии только напряжений
соответственно:
; .
(2.14)
; .
(2.15)
При суммарном действии всех нормальных напряжений получим
следующие выражения закона Гука для пространственной задачи ТУ:

(2.16)
Для плоской задачи выражения закона Гука при действии нормальных
напряжений упрощаются.
При плоском напряженном состоянии (см. рис.1.8) . Тогда из
(2.16) уравнения закона Гука при плоском напряженном состоянии
запишутся в виде:
.
(2.17)
Кроме того, как видно из третьего уравнения (2.16), в направлении
поперек пластины возможна относительная продольная деформация


(2.18)
При плоской деформации , но . Тогда после
преобразований уравнений (2.16) можно получить уравнения закона Гука
при действии нормальных напряжений в виде [3]:
.
(2.19)
где:
? характеристика упругости материала при сдвиговых
деформациях, называемая модулем сдвига, известная учащемуся из курса
сопротивления материалов;
? условная величина.
Касательные напряжения, действующие на элемент, вызывают его
сдвиговые деформации. Сдвиговая деформация бесконечно малого элемента
в плоской задаче показана на рис.2.3. Эта деформация соответствует
действию группы касательных напряжений . При этом закон Гука
при сдвиговых деформациях для плоского напряженного состояния и
плоской деформации можно записать в виде
.
(2.20)
Таким образом, закон Гука при плоском напряженном состоянии
выражается уравнениями (2.17) и (2.20), а при плоской деформации ? (2.19) и
(2.20).
2.4. Полная система уравнений теории упругости
для плоской задачи
Сведем все полученные выше формулы в приведенную ниже общую систему
уравнений.
2.4.1.Статические уравнения
У р а в н е н и я р а в н о в е с и я

(2.3)*
2.4.2. Геометрические уравнения
У р а в н е н и я с в я з и м е ж д у п е р е м е щ е н и я м и и д е ф о р м а ц и я м
и
;
;
.

(2.10)
*
2.4.3. Физические уравнения (закон Гука)
П л о с к о е н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е
.

(2.17)
*
.
(2.20)
*
П л о с к а я д е ф о р м а ц и я
.
(2.19)
*
.
(2.20)
*
Таким образом, для определения восьми неизвестных функций
( ) в плоской задаче в виде плоского напряженного
состояния и в виде плоской деформации имеется по восемь уравнений.
Первые пять уравнений являются дифференциальными уравнениями
первого порядка в частных производных. При интегрировании таких
уравнений в общем интеграле появляются произвольные функции координат.
Эти функции для конкретной задачи определяются из граничных условий.
* Звездочкой отмечены номера формул, приводимых вторично.
Например, при заданных на границе распределенных нагрузках
составляющие напряжений должны удовлетворять уравнениям:

(2.4)*
Следовательно, появившиеся при интегрировании двух уравнений
равновесия (2.3*) две произвольные функции координат будут определены из
этих двух уравнений граничных условий.
Вопрос о граничных условиях более многообразен, поскольку
граничные условия задаются не только в напряжениях, но и в перемещениях.
Более полно с ним можно познакомиться в указанных в списке литературы
учебниках и учебных пособиях, например [3, 9, 10].
Напомним также учащемуся, что интегрирование трех
дифференциальных уравнений, связывающих деформации и перемещения с
целью определения двух неизвестных составляющих перемещений должно
выполняться уравнение неразрывности (совместности) деформаций:
.
(2.11)
*
Как отмечалось в подразделе 1.3, решение поставленных таким
образом математически задач теории упругости (в данном случае – плоских)
выполняется аналитическими и численными методами.
При аналитическом решении системы уравнений используют два
методических подхода: решение в перемещениях и решение в напряжениях.
В первом варианте за основные неизвестные принимают компоненты
перемещений (в плоской задаче их две: ). При этом из
системы уравнений путем преобразований исключают остальные
неизвестные. В результате для плоской задачи получаются только два
дифференциальных уравнения с двумя указанными неизвестными
функциями (см., например, [3]). Их интегрирование с учетом граничных
условий позволяет определить искомые функции перемещений. Затем из
остальных уравнений полной системы находятся составляющие
деформаций и напряжений.
Во втором варианте за основные неизвестные, которые определяются в
первую очередь, принимаются напряжения. Затем по ним из уравнений
закона Гука находятся деформации, а по ним из геометрических уравнений
находятся перемещения. С различными способами решения плоской задачи
в напряжениях учащемуся рекомендуется ознакомиться в работах [3, 9, 10].
Из приведенных в списке литературы работ, а также их
многочисленных других работ по решению задач теории упругости видно,
что аналитическими методами решено большое число важных инженерных
задач.
С внедрением в практику расчетов и проектирования
строительных сооружений ПЭВМ и постоянном совершенствовании этого
внедрения стали превалировать численные методы решения задач теории
упругости.
В настоящее время, лидирующее место в численных методах решения задач
теории упругости занимает метод конечных элементов (МКЭ),
используемый в многочисленных программных комплексах для ПЭВМ, в том
числе и в ПВК SCAD, который применяется в данном учебном пособии,
пос кольку в настоящее время на ИСФ СПбГПУ наиболее доступным в
учебном процессе для решения задач строительной механики, теории
упругости и динамики сооружений оказался программный комплекс SCAD.
Для расчетчика-пользователя указанным комплексом необходимы
некоторые представления о решении задач теории упругости МКЭ.
Ознакомление с МКЭ в пособии начинается с рассмотрения его идеи и
последовательности решения этим методом плоской задачи.
2.5. Идея и последовательность решения плоской задачи теории
упругости МКЭ в форме метода перемещений
Учащемуся ИСФ СПбГПУ, который в учебном процессе приступает к
изучению теории упругости после изучения строительной механики
стержневых систем, уже известна идея МКЭ в форме метода перемещений
и последовательность решения этим методом задач строительной
механики стержневых систем. Соответствующие методические вопросы
были рассмотрены в учебном пособии [ ].
Идея и последовательность решения плоской задачи теории
упругости МКЭ в форме метода перемещений аналогична идее,
рассмотренной для стержневых систем:
1. Прежде всего рассматриваемое плоское тело разбивается на
конечные элементы (КЭ). В плоской задаче ТУ для этого используются
прямоугольные или треугольные элементы [3,11?14]. Вопросы построения
конечных элементов для различных задач, выбора типов элементов для
расчета и рекомендации о разбивке области на КЭ и их нумерации столь
обширны, что они не могут быть рассмотрены в данном учебном пособии.
Для знакомства с ними учащемуся рекомендуется обратиться в указанные
работы.
Здесь для иллюстрации идеи МКЭ при решении плоской задачи ТУ
рассматривается простой пример.
Пример 1. Пусть плоское треугольное тело, находящееся в условиях плоской
деформации, разбито на четыре, шеснадцать и сто треугольных элемента (Рис.2.4).
Нумерация элементов и узлов в общем может быть произвольной. Однако она
оказывает
Рис.2.4
влияние на порядок разрешающей системы уравнений. С этим вопросом можно
познакомиться, например, в работе [11 ]. Для первых двух вариантов разбиения на
элементы показана их нумерация, выполненная программой SCAD.
Тело относится к общей системе координат. В данном случае это сделано так,
что срединная плоскость пластины единичной толщины совмещена с координатной
плоскостью XOY. В программе SCAD при нагрузке та пластину, находящейся в
срединной плоскости такая пластина рассматривается как плоская балка-стенка,
срединная плоскость которой находится в плоскости XOZ.
2. При решении задачи в форме метода перемещений делается
допущение о приближенном представлении искомых перемещений внутри
каждого элемента в виде линейной, квадратичной или кубической функции,
задаваемой в виде соответствующего интерполяционного полинома первой,
второй или третьей степени, коэффициенты которого выражаются через
координаты узлов элемента.
Пример 2. Для того чтобы пояснить сказанное, рассмотрим любой, выделенный
из изображенной на рис. 2.4 пластины, треугольный элемент, узлы которого и номер
элемента обозначим так, как показано на рис. 2.5. Координаты узлов этого
элемента, где - номера узлов, известны.
Сделаем предположение, что искомые составляющие перемещений в виде
непрерывных функций координат внутри элемента
приближенно представляются как линейные функции в виде полинома первой степени [3,
11?14]. Когда координаты точки совпадут с любым из трех узлов, перемещения
становятся соответственно равными , где -
номера узлов.
При этом оказывается, что искомые приближенные значения искомых
перемещений и могут быть вычислены, если известны
составляющие перемещений узлов . Соответствующую
зависимость представим в виде [ 3 ]
,
(2.21)
где

(2.22)
есть вектор компонентов перемещений в любой точке внутри элемента ;

(2.23)
предствляет собой матрицу с элементами в виде аппроксимирующих полиномов
,
(2.24)
коэффициенты которых выражаются через известные координаты узлов в виде (при
условии, что, если , то и соответственно)

(2.25)

(2.26)
в выражении (2.23) является блочным вектором перемещений узлов элемента, в
котором
, .
(2.27)
Обратим внимание на то, что на рис.2.5 система координат имеет двойное
обозначение осей (буквенное и цифровое). При записи матриц часто используют
цифровые индексы, соответствующие номерам осей координат. Поэтому в обозначениях
перемещений сделано указанное в матрицах перемещений изменение обозначений
компонентов перемещений.
Если каким-то образом будут определены эти узловые перемещения сетки
элементов, то затем с помощью интерполяционных полиномов могут быть найдены
перемещения и в любой точке внутри каждого элемента.
Поэтому в МКЭ вместо определения неизвестных компонентов
перемещений как непрерывных функций координат сразу в любой точке
плоского тела с помощью соответствующей полной системы уравнений
теории упругости сначала решается задача приближенного определения
компонентов перемещений только в узлах конечных элементов, на которые
разбито рассматриваемое тело.
3. Решается задача определения узловых перемещений. Методика
решения такой задачи уже известна учащемуся из курса строительной
механики стержневых систем [ ]. Она сводится к решению системы
уравнений
,
(2.28)
где

(2.29)
есть вектор неизвестных компонентов перемещений в узлах намеченной
сетки конечных элементов по направлению общей системы координат, к
которой отнесено рассматриваемое тело, (n- число узлов сетки элементов);

(2.30)
Является вектором заданных компонентов внешних сил по направлению
осей общей системы координат, к которой отнесено рассматриваемое
тело, приложенных в узлах намеченной сетки конечных элементов (n- число
узлов сетки элементов);

(2.31)
представляет собой матрицу жесткости всей системы конечных
элементов, имеющей n узлов элементов.
Для решения задачи (2.28) определения перемещений узлов намеченной
сетки конечных элементов сначала необходимо сформировать вектор
узловых нагрузок. Для этого сначала нагрузка, действующая на каждый
элемент, приводится к его узлам. Затем в общем узле для нескольких
элементов их соответствующие узловые нагрузки суммируются.
Поскольку матрица жесткости (2.31) формируется с помощью блоков
матриц жесткости элементов, необходимо сначала построить матрицы
жесткости для рассматриваемых конечных элементов.
Пример 3. Продемонстрируем построение матрицы жесткости для треугольного
элемента с линейной аппроксимацией перемещений в области элемента, изображенного
на рис.2.5.
Прежде чем перейти к этой процедуре, обратим внимание на то, что, определив
по перемещениям узлов элементов приближенные значения перемещений в любой точке
элемента, из геометрических уравнений (2.10)* можно найти соответствующие
относительные деформации, а затем из уравнений (2.19)* и (2.20)* закона Гука
вычислить напряжения.
Представим геометрические уравнения для элемента r в матричном виде:
,
(2.32)
где

(2.33)
является вектором искомых деформаций в любой точке элемента r, определяемый с
помощью геометрических уравнений (2.10)*;

(2.34)
представляет собой матрицу дифференцирования в геометрических уравнениях;
вектор имеет вид (2.22).
С учетом равенства (2.21) геометрические уравнения для элемента можно
записать в виде
,
(2.35)
где
.
(2.36)
Для элемента r уравнения закона Гука в матричной записи, записанные в форме
определения напряжений по деформациям , будут иметь вид:
.
(2.37)
Здесь

(2.38)
является вектором компонентов напряжений в любой точке элемента;
;
(2.39)
в случае плоского напряженного состояния и в случае плоской
деформации;
– модуль упругости при сдвиговых деформациях.
Теперь перейдем к формированию матрицы жесткости рассматриваемого
элемента. С этой целью запишем уравнения закона Гука, в которых компоненты узловых
усилий элемента r выражаются через компоненты узловых перемещений. Запишем эту
систему уравнений в матричном виде:
,
(2.40)
где (Рис.2.6)

(2.41)
есть вектор узловых усилий элемента r с блоками
( ;
(2.42)

(2.43)
представляет собой блочную матрицу жесткости элемента r в общей системе
координат с блоками вида
.
(2.44)
Как видно из (2.40) здесь любой элемент вида является усилием в узле i,
действующим в направлении l, от единичного смещения узла j в направлении s
( ), в то время как все остальные узлы элемента остаются неподвижными.
Пояснение этого выполним с помощью рис.2.6, где показано, что узлу i
элемента задано перемещение (рис.2.6,а). Остальные пять компонентов в
векторе узловых перемещений уравнения (2.40) равны нулю. Произведя умножение
этого вектора на матрицу в (2.40), получим, что вектор узловых усилий элемента
будет равен первому столбцу матрицы . Соответствующие узловые силы,
представленные компонентами первого столбца матрицы , показаны на рис. 2.6,б.
Вычисление матрицы для треугольного элемента с линейной аппроксимацией
перемещений внутри его выполняется по формуле
,
(2.45)
с получением которой учащийся может ознакомиться в работе [3 ].
После формирования вектора узловых нагрузок и матрицы жесткости
решается система алгебраических уравнений (2.28) и в общей системе
координат определяются компоненты перемещений узлов сетки КЭ,
которой аппроксимировано рассматриваемое тело.
4. Поскольку перемещения узлов каждого КЭ становятся известными, с
помощью уравнения закона Гука (2.37) в точках рассматриваемого КЭ
можно определить составляющие напряжений.
Во всех выполненных рассуждениях выделенный элемент относился к
общей для всей расчетной схемы сооружения системе координат. Как было
показано в учебных пособиях [1,2,15], конечный элемент рассматривается
также в так называемой местной (локальной) системе координат. Там же
показано как осуществляется переход от величин, найденных в одной
системе координат к величинам в другой системе координат.
Поскольку этот вопрос рассмотрен в указанных пособиях (см. и работу
[12], здесь останавливаться на нем не будем. Отметим только, что в
программе SCAD, которую будем использовать при решении задач теории
упругости, компоненты перемещений узлов сетки элементов определяются в
общей системе координат (решением системы алгебраических уравнений
(2.30), а компоненты напряжений по умолчанию представлены величинами,
вычисленными в местной для каждого элемента системе координат.
2. 6. Конечные элементы, используемые в программе SCAD
Для решения плоской задачи теории упругости в варианте плоского
напряженного состояния и варианте плоской деформации используются
различные КЭ треугольной и четырехугольной формы. Их различие, в
частности, связано с различной аппроксимацией перемещений в области
конечного элемента. Обычно при аппроксимации перемещений для этих
элементов используются полиномы первой (см. предыдущие примеры), второй
и третьей степени. Разработке конечных элементов посвящено много работ.
Как уже отмечалось в предыдущем подразделе, учащимся рекомендуется
познакомиться с этими вопросами в работах [3, 11?14].
Данные об используемых в программе SCAD треугольных и четырехугольных
элементах приведены в справке к этой программе, которой легко
пользоваться при решении различных задач.
Для облегчения учащимся процедуры использования справки ниже сделана
выборочная копия некоторых материалов разделов 4.“Библиотека конечных
элементов” и 6.3.3.“Усилия в плоских конечных элементах”,
соответствующих вопросу решения плоской задачи ТУ. При этом приводятся
обозначения величин, номера разделов справки, рисунков и литературных
источников, имеющиеся в справке разработчиков комплекса.
2.6.1. Материалы из раздела 4 “Библиотека конечных элементов” справки к программе
SCAD
4.1. Состав библиотеки конечных элементов для линейного расчета
Библиотека конечных элементов (БКЭ) вычислительного комплекса позволяет
рассчитывать самые сложные конструкции. В нее включены разнообразные конечные
элементы (КЭ). Для пользователей, знакомых с вычислительными комплексами ППП
АПЖБК[21], ЛИРА[17-20] и МИРАЖ[26], в ПВК SCAD обеспечена преемственность с ними
по заполнению исходных данных и сохранены правила чтения результатов счета..
Каждому конечному элементу в библиотеке присвоен тип - порядковый номер. В таблице
4.1 дана классификация типов КЭ, возможные признаки расчетной схемы для их работы,
идентификация вычисляемых усилий (напряжений).
Таблица 4.1. Классификация КЭ
Тип КЭ
Содержание
Допустимые
признаки
схемы
Вычисляемые усилия
1-10
Стержни
1 - плоской фермы
2 - плоской рамы
3-балочного ростверка
4 - пространственной фермы
5 – пространственный
6 - пространственный с
учетом сдвига
7-балочного ростверка на
упругом основании
10 - универсальный
1, 2, 4, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5
5
3, 5
1-5
N
N, M(My), (Qz)
Mк(Mx), My, Qz
N
N, Mк, My, Qz, Mz, Qy
N, Mк, My, Qz, Mz, Qy
Mк(Mx), My, Qzв
зависимости от типа
схемы
11-20
Пластины
3, 5
Mx, My, Mxy, Qx, Qy
21-30
Элементы для решения
плоско-напряженной задачи
теории упругости (балка-
стенка) и расчет плоского
деформированного
состояния 21, 22, 29, 30,
23, 24, 27
1, 2, 4, 5
4, 5
Для плоско-напряженной
задачи: Nx, Ny, Txz;
Для плоской формации:
Nx, Ny, Nz, Txz
31-40
Элементы для решения
объемной задачи теории
упругости
4,5
Nx, Ny, Nz, Txy, Txz, Tyz
41-50
Оболочки
5
Nx, Ny, Txy, Mx, My, Mxy,
Qx, Qy
51-60
Упруго-податливые связи
61-70
Элементы для решения
осесимметричной задачи
теории упругости
11
Nx(r), Ny(),Nz(z),Txz(Тrz)
71-80
Элементы для расчета
многослойных пологих
пластин и оболочек,
учитывающие попеpечный
сдвиг, обжатие слоев и
кpивизну
8
Nx, Ny, Nz, Txy, Txz, Tyz,
вертикальное перемещение
на границах слоев
81-90
Элементы для расчета
многослойных пологих
пластин и оболочек,
учитывающие межслоевые
сдвиги и кривизну
9
150-160
Нуль-элементы для расчета
на заданные перемещения
1-5
200
Пустой элемент
любой
Усилия и напряжения по умолчанию вычисляются в начале и в конце стержня, а для
других типов КЭ - в центре тяжести, можно заказать вычисление усилий для стержней в
промежуточных сечениях, а для других типов КЭ - в узлах.
Обычно усилия и напряжения в КЭ вычисляются в местной системе координат. Для
стержней, например, это главные оси поперечных сечений гибкой части. Если на рисунке
элемента в таблице не указана местная система координат X1Y1Z1, то усилия и напряжения
вычисляются в общей системе координат. Для всех плоских и объемных КЭ возможно
задание системы координат вычисления усилий.
4.3.3. Универсальные конечные элементы плоской задачи теории упругости
Универсальные конечные элементы для решения плоской задачи теории упругости
позволяют рассчитывать как плоско-напряженные, так и плоско-деформируемые системы.
В самом общем случае каждый узел конечных элементов имеет по три степени свободы:
U - линейное перемещение по оси X;
V - линейное перемещение по оси Y;
W - линейное перемещение по оси Z.
Степень свободы V отсутствует во всех элементах, которые могут лежать только в
плоскости XOZ: 21, 22, 29, 30.
В элементах типа 23, 24, 27, которые могут лежать произвольно в пространстве, она
вводится для стыковки пространственных элементов конструкции.
В комплекс SCAD включены следующие конечные элементы для решения плоской
задачи:
прямоугольные элементы типа 21 (лежит в плоскости XOZ) и типа 23 (произвольного
положения в пространстве), рис. 4.14;
треугольные элементы типа 22 (лежит в пл. XOZ) и типа 24 (произвольного положения
в пространстве), рис. 4.15;
четырехугольные элементы с числом узлов от 4 до 8 типа 30 (лежит в пл. XOZ) и типа
27 (произвольного положения в пространстве), рис. 4.16. Кроме вершин четырехугольника
на каждой из сторон может находиться еще по одному узлу. Нумерация узлов с 5-го по 8-й -
произвольная;
четырехугольный элемент с числом узлов от 4-х до 12, лежащий в плоскости XOZ типа
29, рис. 4.17. Кроме вершин четырехугольника на каждой из сторон может находиться еще
до двух узлов. Нумерация узлов с 5-го по 12-й произвольная.
2.6.2. Материалы из раздела 6.3.3 “Усилия в плоских конечных элементах”
справки к программе SCAD
Элементы балок-стенок чаще всего располагаются в плоскости XOZ общей системы
координат (и плоскостях, параллельных ей). В этом случае для элементов принимается такая
местная система осей координат для элементов, когда в плоскости элемента лежат оси X1 и
Z1, а ось Y1 перпендикулярна его плоскости (рис. 6.14)

Рис.6.14
На рис. 6.14. приведен вид таких элементов, используемых для решения плоской задачи ТУ, а
в части таблицы 6.7 из справки указан их тип и даны некоторые другие сведения.
Из таблицы 6.7
Тип КЭ
Краткое название
вида элемента по
его форме
Плоскость
расположения балки-
стенки
Перемещения
узлов
элемента
Усилия
(напряжения)
(Т/м2 )
21
Прямоугольный
XOZ
(или параллельная ей)
X, Z
(в общей
системе
координат)
NX, NZ, TXZ
(NY в ПД)
(по умолчанию
в местной
системе
координат)
22
Треугольный
29
Четырехугольный
30
Четырехугольный
Если балка-стенка расположена не в плоскости XOZ (или в плоскости параллельной ей), а
в произвольно расположенной плоскости (как часть некоторого пространственного
сооружения), то используются элементы того же по форме вида (прямоугольный,
треугольный, четырехугольный), но они будут относиться к другим типам по сравнению с
рассмотренными выше.
Из таблицы 6.7 (продолжение)
Тип КЭ
Краткое название
вида элемента по
его форме
Плоскость расположения
балки-стенки
Перемещения
узлов
Усилия
(напряжения)
(Т/м2 )
23
Прямоугольный
Произвольное положение
плоскости балки-стенки
в простран- стве
X, Y, Z,
NX, NZ, TXZ
(NY в ПД)
(по умолчанию в
местной системе
координат)
24
Треугольный
27
Четырехугольный
Усилия (напряжения) в плоской задаче вычисляются либо только в центре тяжести
элементов (точка С на рис.6.14) или еще (по указанию расчетчика) и в узлах элементов.
На рис.6.18 подраздела 6.3.3.3 “ Правила знаков для усилий и напряжений в плоских
конечных элементах” показаны положительные напряжения в прямоугольном и треугольном
элементах плоской задачи при их вычислении в местной системе координат для точки в
центре тяжести этих элементов. Изображенные вектора напряжений относятся к части
элемента, изображенной сплошными линиями (часть элемента, изображенная штриховой
линией отбрасывается).

Рис.6.18
Указанное правило знаков для напряжений в элементах плоской задачи ТУ
продемонстрировано также на рис. 6.19 справки.

Рис.6.19
3. ПРИМЕР РАСЧЕТА НДС БАЛКИ-СТЕНКИ МКЭ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ SCAD
3.1.Постановка задачи.
Требуется выполнить расчет НДС балки-стенки, схема которой
показана на рис.1.1,б, МКЭ с использованием программы SCAD.
Имеются следующие исходные данные для расчета.
Материалом стенки является железобетон класса В25.
Размеры стенки: ; .
Интенсивность нагрузки при расчете: т/м.
Предполагается, что стенка находится в условиях плоской
деформации.
Расчет выполним МКЭ с разбивкой стенки на прямоугольные КЭ с
линейной аппроксимацией перемещений. Сетку элементов назначим
равномерную по длине и высоте стенки с числом элементов 10?10. Тогда
каждый элемент будет иметь вид квадрата со стороной 0.6 м.
Сопоставить эпюру нормальных напряжений в среднем
сечении балки-стенки с соответствующей эпюрой, полученной для этих
напряжений по формуле сопротивления материалов, выведенной для
тонких балок.
Инструкция по работе с программой SCAD применительно к расчету
стержневых систем была дана в учебных пособиях [1, 2].
Применим эту инструкцию и дополним ее в тех местах, где она при
решении плоской задачи имеет специфику по сравнению с инструкцией,
приведенной в указанных пособиях.
3.2. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 1
Этап 1. Запуск программы SCAD и подготовка к созданию расчетной схемы
1.1. Запуск программы SCAD
С помощью мыши курсор в виде стрелки подводится на рабочем столе
монитора к ярлыку программы SCAD и дважды быстро нажимается левая
кнопка мыши.
На экране появится окно, информирующее о загрузке программы с
указанием на операционную систему, в которой она работает. Окно имеет меню
из трех разделов – Проект, Опции, Справка и инструментальную панель из 5
кнопок

1.2. Создание нового проекта для выполнения расчета
Для создания нового проекта курсор устанавливается на одноименной кнопке “Создать
новый проект” инструментальной панели и нажимается левая кнопка мыши. На экран
выводится диалоговое окно Новый проект.
Вид этого окна в разных версиях SCAD различается. В представленном варианте окна
выполним требуемые действия.
1.2.1.Ввод наименования проекта
Сделаем, например, ввод для работы 1 по теории упругости. Введем: ту-1
1.2.2. Ввод названий: организации, выполняющей расчет, и объекта
В окне “Организация” учащемуся можно ничего не записывать, или записать
номер своей группы. В нашем примере записано:.4015-1 В окне “Объект” введем:
балка-стенка.

1.2.3.Установка единиц измерения
Открывается окно “Единицы измерения” и в соответствии с выбранной расчетчиком
системой (СИ или технической, например, МТС) назначаются единицы измерения основных
величин. На рис. показаны единицы, выбранные в рассматриваемом примере. Из этого окна
выходим, нажав кнопку ОК.

1.2.4.Выбор типа схемы
При расчете балки-стенки можно оставить тип схемы, который по умолчанию
открывается вместе с окном “Новый проект”: 5 – Система общего вида.
1.2.5.Сохранение нового проекта
Для сохранения введенных данных о новом проекте курсор подводится к
кнопке ОК в рассматриваемом диалоговом окне и нажимается левая кнопка
мыши. При этом на экран будет выведено окно Создание нового проекта SCAD.
1.3 Задание имени файла в директории SDATA. Выход на схему “Дерево
проекта” для начала работы
В учебном классе кафедры СМ и ТУ в открывшемся окне SDATA будут папки с
номерами групп. Надо выбрать папку с номером своей группы и открыть ее (открываем
папку 4015-1). В папке этой группы и задается имя файла проекта.
Примечание к пункту 1.3 для студентов, работающих в компьютерном классе
кафедры СМ и ТУ. Для того чтобы студенты не выбирали произвольно вымышленных
названий своих проектов, в компьютерном классе кафедры СМ и ТУ принят вид имени
файла, состоящий из двух частей, соединенных тире (без пробела):
1.Часть, состоящая из четырехзначного цифрового шифра ABCD, выданного студенту на
все время изучения дисциплины “Строительная механика)” для выбора расчетных схем из
сборника задач.

2.Часть, состоящая из наименования рассчитываемой системы
Пусть студенту группы 4015-1 выдан шифр ABCD = 0203 Тогда для задания имени
файла он должен последовательно открыть в папке SDATA папку “40151” и в ней задать
имя файла: 0203-балка-стенка (см. приведенное окно).
Команда “Сохранить” открывает окно со схемой, которая называется Дерево проекта.
Созданный файл будет храниться в указанной папке, а затем имя файла будет присвоено
всем служебным файлам и порождаемым в процессе работы комплекса файлам с
результатами. Эти рабочие файлы будут храниться в рабочей папке SWORK.
Примечание к пункту 1.3 для студентов, работающих в компьютерном классе
кафедры Э и ПГС. В компьютерном классе кафедры Э и ПГС принята другая система учета
работ студентов. Здесь она не приводится. Студент для работы в том или ином классе ПЭВМ
должен использовать соответствующую систему.
Примечание к этапу 1. При необходимости повторной работы с созданным проектом
после запуска программы SCAD (см. подраздел 1.1 этапа 1) на инструментальной панели из 5
кнопок надо нажать кнопку “Открыть существующий проект”. Появится окно
Открытие проекта SCAD. Далее надо поступить так же, как это было только что описано в
подразделе 1.3. инструкции.
Различие в виде второго окна по сравнению с приведенным выше будет состоять в том,
что в нем уже будет находиться имя созданного ранее файла. Открытие этого файла
приведет к открытию схемы Дерево проекта. Далее выполняем описываемые ниже
действия.
1.4. Открытие окна “Расчетная схема”
Дерево проекта включает четыре раздела первого уровня: Исходные данные, Расчет,
Результаты и Конструирование.
В первую очередь необходимо войти в раздел Исходные данные и открыть название
раздела второго уровня Расчетная схема.

Для начала работы по созданию расчетной схемы, курсор подводится к пиктограмме
с названием Расчетная схема и нажимается левая кнопка мыши.
В результате откроется рабочее окно по созданию расчетной схемы, в котором имеется
шесть функциональных разделов (их названия отмечены внизу информационной панели).
Каждому разделу соответствует своя инструментальная панель с рабочими кнопками.
Сначала окно откроется с активной инструментальной панелью раздела Управление.
Одновременно в окне появятся две подвижные инструментальные панели: Фильтры
отображения и Визуализации. Можно изменить размеры сторон этих панелей и сделать их
удобными для размещения в поле окна вместе с расчетной схемой.
Панели видны только в том случае, если на инструментальной панели раздела
Управление соответственно нажаты кнопки и .
3.3. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 2
Этап 2. Создание расчетной схемы балки-стенки для МКЭ
2.1. Графическое представление расчетной схемы балки-стенки в общей системе
координат
Расчетную схему заданной балки-стенки можно построить с использованием
имеющихся в программе SCAD типовых схем. Для этого после открытия основного окна в
разделе Управление необходимо перейти в окно раздела Схема. С этой целью курсор
устанавливается на закладке Схема и нажимается левая кнопка мыши. Откроется окно
для построения схемы
На инструментальной панели этого окна необходимо нажать кнопку
“Генерация прямоугольной сетки на плоскости”, в результате чего появится диалоговое окно
“Генерация пластинчатой схемы”.

На поле “Вид схемы” этого окна необходимо:
1. Выбрать схему “Балка-стенка [XOZ]”. В скобках отмечено, что срединная плоскость
стенки располагается в вертикальной координатной плоскости с горизонтальной осью X и
вертикальной осью Z.
2. С помощью кнопки “Тип элемента” открыть окно “Назначение типа элемента”, в
котором для балки-стенки выбрать: “21 Прямоугольный КЭ балки стенки” и, нажав кнопку
“ОК”, закрыть окно.

3. В окне “Генерация пластинчатой схемы” нажать кнопку “Жесткость” и открыть окно
“Жесткость пластин”, в котором: в поле “Материал” (в соответствии с заданием) выбрать:

“Бетон тяжелый В25”; в поле “Параметры” занести значение толщины пластины: 1 м;
отметить точкой тип плоской задачи (в соответствии с заданием): “Плоская деформация”.
Подтвердить сделанный выбор параметров нажатием кнопки ОК. При этом снова выходим в
окно “Генерация пластинчатой системы”.
4. В столбце “Шаг по оси X” заносим размер 0.6 элемента в горизонтальном направлении
(все размеры в м);
5. В столбце “Количество шагов” указываем сколько последовательно идущих элементов
(слева направо) будут иметь указанный размер. В нашем случае (по заданию) заносим число
10;
6. Аналогичные операции выполняем для вертикального направления;
7. После нажатия кнопки ОК в окне “Генерация пластинчатой схемы” это окно
закрывается и сгенерированная схема стенки с разбивкой на выбранные КЭ появится в
основном рабочем окне программы.
С помощью кнопок панели Фильтры отображения можно получить соответствующую
информацию об элементах и узлах сетки элементов.
2.4. Назначение опорных связей
В схеме балки – стенки, изображенной на рис. 1.1,б показано, что она опирается на две
шарнирные опоры, которые при выбранной сетке относятся к крайним нижним узлам
намеченной сетки КЭ.
Процедура постановки жестких связей учащимся известна из курса строительной
механики, поэтому этот вопрос здесь не рассматриваем.
Далее известны все процедуры выполнения работы на этапах 2 и 3.
Построенная схема балки – стенки с указанием номеров элементов и их узлов приведена
соответственно на рис.3.1,а,б .

Рис.3.1
Далее остановимся только на подразделах 4.2 и 4.3 этапа 4 работы, т.е. на анализе
результатов расчета.
3.4. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 4
Этап 4. Выполнение линейного расчета и представление его
результатов
4.2. Графический анализ результатов расчета
После линейного расчета открываем в дереве проекта раздел Результаты, а в нем
подраздел Графический анализ.

В открывшемся окне открываем инструментальную панель Деформации и нажимаем
кнопку “Совместное отображение исходной и деформированной схемы”.
Рядом с исходной схемой появится картина деформированной схемы (без указания
численных значений перемещений узлов). Эта картина изображена на рис.3.2.
Для получения численных значений перемещений необходимо нажать кнопку
“Вывод значений перемещений в узлах”. Однако, если перемещения очень
малы, то на схеме появятся только нули. Чтобы убедиться в этом, надо снова выйти в дерево
проекта и нажать кнопку Печать таблиц. Откроется окно, с помощью которого надо
открыть таблицу перемещений в узлах сетки элементов. С этими процедурами учащийся уже
знаком из курса “Строительная механика стержневых систем” (см. пособие [1]).

Рис.3.2
Затем переходим в раздел Поля напряжений и на инструментальной панели этого
раздела выбираем вариант изображения картины напряженного состояния балки-стенки.
На рис. 3.3 приведен вариант, когда напряженное состояние показано линиями равных
усилий NX с указанием значений и знаков усилий в узлах и в центральных точках
элементов.

Рис.3.3
Более наглядная картина указанных усилий для наиболее напряженной нижней части
стенки приведена на рис. 3.4.

Рис.3.4
Аналогично получаются и картины полей усилий NZ и TXZ (они здесь не приводятся).
На рис. 3.5 сплошной линией изображена эпюра нормальных усилий NX (напряжений
) в среднем сечении стенки. Там же штриховой линией показана эпюра этих
напряжений, если бы нормальные напряжения в нижней точке (точка 1) и верхней точке
(точка 2) сечения вычислялась по формуле
,
полученной в курсе сопротивления материалов для тонких балок.

Рис.3.5
Действительно, в рассматриваемом примере изгибающий момент M в среднем сечении
от равномерно распределенной нагрузки q = 1.25 Т/м равен Т•м. Момент
сопротивления сечения м3. Отсюда
Т/м2 .
Как видно, наиболее опасные для железобетонной стенки растягивающие напряжения в
точке 1, полученные по формуле сопротивления материалов, выведенной для тонких балок,
будут более чем в два раза меньше, чем полученные МКЭ с выбранной сеткой элементов.
Анализ всей картины напряжений и их значений в различных точках
балки-стенки, полученных в ТУ, показывает большое отличие от картины и значений
соответствующих напряжений, получающихся при использовании методики сопротивления
материалов, применяемой для расчета тонких балок.
4. РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛИТ
4.1 Пространственное тело, рассматриваемое как тонкая плита
В энергетических, промышленных и гражданских сооружениях часто
встречаются железобетонные элементы призматической или цилиндрической
формы, высота (толщина) которых мала по сравнению с другими размерами.
Такие элементы называют пластинами или плитами. В строительстве обычно
используют второе название.
Плиты чаще всего являются горизонтально расположенными. При их
проекции на горизонтальную плоскость (по наибольшим размерам) они могут
иметь различную конфигурацию, например, вид прямоугольника, треугольника,
трапеции, круга (рис. 4.1) и т.д.
Но плиты могут располагаться и вертикально (это будет
продемонстрировано в примере расчета подземного сооружения во второй
части пособия) и в любых других положениях..
Плита может иметь различные варианты опирания на другие элементы
сооружения (стены, колонны), на грунтовое основание и на основания из
других материалов.
Нагрузки на плиту могут быть самыми различными. В этом пособии
предполагается, что нагрузки являются статическими.
Плита обычно загружена по верхней и нижней (для горизонтальной
плиты) плоскостям, а также несет собственный вес. Кроме того, плита
испытывает действие реакций от опирания на колонны, стены и основание.
Характер НДС плиты зависит от вида нагрузки, характера опирания и от
соотношения толщины плиты к размерам ее плоскостей.
С точки зрения методов расчета НДС плиты различают как тонкие,
плиты средней толщины и относительно толстые.
В строительных объектах обычно плиту рассчитывают по методике
тонких плит, если значение соотношения , где h – толщина плиты;
– наименьший размер плиты в плане (по аналогии с тонкими
балками).
Тонкие плиты обычно имеют постоянную толщину. Тогда верхняя и
нижняя стороны плиты (стороны с наибольшими размерами) представляют
собой параллельные друг другу плоскости (см. рис.1.4).. Плоскость
параллельную им и делящую плиту по толщине пополам называют срединной
плоскостью.
Расчетную схему тонкой балки (см. рис.1.4,а) представляют в виде ее
оси. Аналогично расчетную схему тонкой плиты представляют в виде ее
срединной плоскости. Опорные связи и нагрузку на тонкую плиту относят к
срединной плоскости.
На рис.4.1 изображена срединная плоскость прямоугольной в плане
тонкой плиты, отнесенная к правой прямоугольной системе координат. При
этом срединная плоскость находится в координатной плоскости XOY, а ось Z
направлена вверх. На четырех границах срединной плоскости плиты условно
Рис.4.2
показано, принятое в данном пособии, обозначение способов опирания
плиты по ее контуру:
Сторона ab не имеет опирания (свободна);
Сторона bd имеет шарнирно- подвижное опирание;
Сторона ac имеет шарнирно-неподвижное опирание;
Сторона cd защемлена.
На рис.4.2 изображена правая система прямоугольных координат. В
различных учебниках, научных и инженерных работах плита с этой системой
координат может быть изображена в разных ракурсах. На рис. 4.3 приведены
различные положения схемы срединной плоскости горизонтальной плиты с
осью Z направленной вверх. Во всех этих вариантах точки плиты,
расположенные выше срединной плоскости, будут иметь положительные
координаты z.
Если срединную плоскость тонкой плиты повернуть вокруг оси X (или
Y) на угол 180о, то получим горизонтальную плиту в положении, когда ось Z
правой системы координат будет направлена вниз (Рис.4.4). При этом часть
плиты, расположенная выше срединной плоскости оказывается со стороны
обратной положительному направлению оси Z и все точки плиты,
расположенные выше срединной плоскости, будут иметь отрицательные
координаты z.
Как будет показано в примере во второй части учебного пособия, плита
может располагаться в сооружении не только горизонтально, но и в других
положениях. Например, в подземном сооружении его вертикальная стена (без
учета ее работы от вертикальной нагрузки как балки-стенки, что допускается
принципом независимости действия сил), от горизонтального давления на нее
грунтовой засыпки работает как тонкая плита.
Если стену рассматривать как плиту, то ее расчетную схему можно
получить, например, повернув, изображенную на рис.4.3,а горизонтальную
срединную плоскость плиты, вокруг оси X вместе с правой системой
координат. Тогда срединная плоскость станет вертикальной и будет иметь вид,
изображенный на рис.4.2.
. При этом срединная плоскость стены будет по-прежнему располагаться
в координатной плоскости XOY.
Методика расчета тонких плит и определяемое в них НДС не зависят от
выбранной системы координат. Но надо обращать внимание на знаки тех
величин, которые берутся в соответствии с выбранной системой координат. Это
будет пояснено в дальнейшем при рассмотрении теории расчета тонких плит.
4.2. Рабочие гипотезы, принимаемые при расчете
пространственного тела в виде тонкой плиты.
При разработке теории расчета тонких плит используются допущения,
перечисленные в подразделе 1.2 пособия.
Кроме них для тонких плит используются рабочие гипотезы аналогичные
рабочим гипотезам, применяемым для расчета тонких балок.
Сформулируем эти гипотезы и изучим их влияние на систему уравнений
теории упругости и определяемые неизвестные величины.
Рассмотрим тонкую плиту толщиной h, изображенную на рис.4.2. Пусть
она вместе с системой координат представляется в виде, изображенном на
рис.4.4,а [9].
Предположим, что она загружена поперечной к срединной плоскости
(вертикальной) равномерно распределенной нагрузкой и собственным весом,
совпадающими по направлению с положительным направлением оси Z. При
такой нагрузке плита будет работать только на изгиб. Требуется рассчитать ее
для получения НДС.
С целью упрощения решения задачи по расчету НДС тонкой плиты,
испытывающей только изгиб (без растяжения и сжатия), дополнительно к
общепринятым в ТУ допущениям применяют следующие рабочие гипотезы,
[3, 9, 10].
1. Напряжения не оказывают существенного влияния на
величину деформаций и в уравнениях упругости (закон
Гука) для пространственной задачи и ими можно пренебречь.
2. Соотношения упругости относительно могут быть
приближенно заменены равенствами: .
В результате физические уравнения, отражающие линейную связь
деформаций и напряжений для пространственной задачи, примут вид (4.1).

(4.1)
Как видно из геометрического уравнения , условие 3
показывает, что любой прямолинейный вертикальный отрезок в теле тонкой
плиты не изменяет своей длины при деформации плиты. Поэтому точки,
лежащие на этом отрезке, имеют равные вертикальные перемещения
, не зависящие от координаты z . Здесь является
вертикальным перемещением точки пересечения указанного отрезка со
срединной плоскостью.
Пятое и шестое условия в (4.1) означают, что рассматриваемый отрезок
остается прямым и перпендикулярным срединной плоскости и после
деформации тонкой плиты.
Для пояснения этого через произвольную точку C на расстоянии y от
координатной плоскости XOZ проведем сечение плиты плоскостью
параллельной плоскости XOZ (см. рис.4.4,а) и рассмотрим часть сечения
(рис.4.5).

Рис.4.5
На рис.4.5 показано, что в результате действия нагрузки на плиту она
деформировалась и некоторая точка C (с координатами x, y) на срединной
плоскости плиты получила положительный прогиб wo. Точка D, расположенная
в сечении плиты на срединной плоскости на расстоянии dx от точки C,
получила прогиб .
На рисунке показан соответствующий угол поворота
касательной к срединной плоскости вокруг оси Y.
Как видно, этот угол может быть выражен через функцию в
виде .
Запишем шестое геометрическое уравнение в полной системе уравнений
ТУ [9] с учетом рабочей гипотезы 6 в уравнениях (4.1):

(4.2)
3. Сделаем дополнительное допущение, что вследствие малости
перемещений, горизонтальными составляющими перемещений точек,
лежащих на срединной плоскости, при изгибе срединной плоскости можно
пренебречь. Это означает, что при z=0 и
.
(4.3)
Примечание к вопросу о знаках искомых перемещений
Обратим внимание на то, что знаки искомых перемещений точек
плиты зависят от знака координат точек, т.е. зависят от направления оси Z.
Если ось Z направлена вниз (см. рис.4.5), то прогиб w и производная
для изображенной части плиты имеют положительный знак. Поэтому для точек плиты,
расположенных ниже срединной плоскости (при ) из формулы (4.3) получим
отрицательный знак. Это соответствует направлению перемещения
сечения плиты, в которой определяется перемещение, и от знака производной

В рассматриваемом варианте ось Z направлена вниз и прогиб w положителен.
Производная по x для изображенной части срединной плоскости также положительна.
Поэтому точки плиты ниже изображенной части срединной плоскости имеют отрицательные
по отношению к оси X перемещения .
Если плиту соотнести с системой координат, изображенной на рис. 4.3, то на
рис.4.5 ось Z будет направлена вверх. В этом варианте функция прогиба и ее производная
применительно к показанной на рис. 4.3 части плиты будут отрицательными. Но
одновременно для точек нижней части плиты станут отрицательными и координаты z.
Поэтому перемещения для этих точек по-прежнему можно вычислять по
формуле (4.3).
По аналогии, из пятого геометрического уравнения для
пространственного тела с учетом пятого условия в (4.1) получаем
.
(4.4)
При условии, что при z=0 ,
.
(4.5)
Таким образом, точка C, лежащая на срединной плоскости, имеет только
вертикальное перемещение и не имеет горизонтальных
перемещений ( ). Соответствующие деформации в срединной
плоскости также равны нулю ( ).
Выражения (4.3) и (4.5) показывают, что прямой вертикальный отрезок
ab, проведенный через точку C (см. рис.4.6), после деформации плиты
останется прямым, будет иметь вертикальное смещение и углы
поворота и по отношению соответственно с осями Y
и X общей системы координат.
На рис.4.6 показано, что прямой отрезок ab повернулся вокруг оси Y на
угол и занял положение перпендикулярное в точке
к деформировавшейся срединной плоскости.
Как видим, дополнительные рабочие гипотезы для тонких плит
аналогичны допущениям, принятым при построении теории расчета тонких
балок. Поэтому, построенная с помощью этих дополнительных гипотез теория
расчета тонких плит, будет приводить к приближенным результатам и (по
аналогии с тем, как это было показано при расчете балок-стенок) погрешность
расчетов будет возрастать с увеличением высоты (толщины) плиты.
4.3. Неизвестные величины при расчете тонкой плиты
и формулы для их определения
Принятые рабочие гипотезы, учитывающие специфику геометрии тонкой
плиты, позволили выразить перемещений любой ее точки через прогиб
срединной плоскости плиты:
.
(4.6)
Из шести неизвестных составляющих напряжений для пространственного
тела в тонкой плите после первого дополнительного допущения остаются пять
неизвестных, которые представим в виде следующей таблицы (вследствие
закона парности касательных напряжений заполнена только ее половина)
.
(4.7)
Из шести неизвестных деформаций остаются три:
.
(4.8)
Обратим внимание на то, что в результате сделанных допущений
касательные напряжения и не связаны с
деформациями и по аналогии с тонкой балкой определятся только из условий
равновесия.
Покажем, что остальные деформации и напряжения в таблице (4.7),
связанные уравнениями упругости (законом Гука), также могут быть выражены
через прогиб срединной плоскости тонкой плиты.
С этой целью два первых уравнения (4.1), отражающие закон Гука, путем
простых преобразований представим в виде
.
(4.9)
Из четвертого уравнения получаем
.
(4.10)
Представим геометрические уравнения с учетом (4.6) в виде
.
(4.11)
Тогда составляющие напряжений вместо формул (4.9) и (4.10) могут
быть представлены в виде
.
(4.12)
Таким образом, если будет определена непрерывная функция прогиба
плиты , то с помощью приведенных формул могут быть
определены и все остальные, указанные выше неизвестные перемещения,
деформации и напряжения.
Формулы (4.12) показывают, что составляющие напряжений в тонкой
плите линейно изменяются по толщине. Соответствующее графическое
представление линейной эпюры напряжений показано на рис.4.7
для сечения плиты, проходящего через точку C (см. рис. 4.4,а) параллельно
плоскости YOZ. Если внешняя нормаль n к сечению совпадает по направлению
с положительным направлением оси X, изображенная в сечении эпюра
относится к части плиты слева от сечения. При отрицательном
направлении нормали сечение относится к части плиты, расположенной справа
от сечения.
При деформации плиты, изображенной на рис. 4.5 и 4.6, в точках сечения
плиты, находящихся ниже срединной плоскости, напряжения
являются растягивающими и считаются положительными. Наоборот, в точках
расположенных выше срединной плоскости эти напряжения являются
сжимающими и считаются отрицательными.
Видно, что напряжения создают изгибающий момент плиты
Mx, который можно отнести к точке C на срединной плоскости плиты (на
рис.4.7 он изображении штриховой линией).
Его направление соответствует направлению нормальных напряжений, а
величина определится интегрированием напряжений в сечении. Обычно
изгибающий момент Mx в точке C сечения плиты относят к единице длины по
направлению оси Y. Тогда с учетом (4.12)
.
(4.13)
Здесь .
Последний интеграл представляет собой момент инерции выделенной
части сечения, т.е.: . Поэтому
.
(4.14)
где

(4.15)
является обозначением так называемой цилиндрической жесткости плиты.
Обратим внимание на то, что цилиндрическая жесткость плиты больше
по сравнению с жесткостью на изгиб балки единичной ширины и
высоты h, т.е. .
Аналогично получается выражение для изгибающего момента

.
(4.16)
Таким образом, если в плите будет получена функция прогиба
, то из выражений (4.14) и (4.16) могут быть определены и
указанные изгибающие моменты.
Сопоставление этих выражений с соответствующими формулами (4.12)
приводит к следующим формулам для определения нормальных напряжений в
тонкой плите при оси Z, направленной вниз.
.
(4.17)
Изгибающий момент в этих формулах считается положительным,
если он направлен так, как показано на рис. 4.7, т.е. растягивает нижние
“волокна” плиты
Если поставить цель определения максимальных численных значений для
этих напряжений в точках 1 и 2 сечения (см. рис.4.7), то следует соответственно
принять . Тогда
,
(4.18)
где – момент сопротивления сечения плиты высотой
и шириной равной единице длины.
Как видим, сделанные в теории расчета тонких плит дополнительные
допущения привели к формулам для определения нормальных напряжений при
изгибе плиты, аналогичным формулам для тонких балок.
В сечениях плиты кроме указанных нормальных напряжений действуют и
касательные напряжения. Причем, как видно из третьего уравнения уравнений
(4.12), отражающих закон Гука, касательные напряжения имеют
такой же закон изменения касательных напряжений по высоте плиты, как и
нормальные напряжения (линейная функция от координаты z).
На рис.4.8 показана эпюра этих напряжений на части сечения плиты,
проходящего через точку C перпендикулярно оси X. Ширина сечения принята
равной единице длины, поэтому площадь выделенного сечения равна
. Сечение спроектировано на плоскость YOZ.
Как видно, касательные напряжения создают крутящий момент
, который может быть определен аналогично изгибающему
моменту (4.13):
.
(4.19)
Отсюда
.
(4.20)
и с учетом третьего уравнения в (4.12)
.
(4.21)
Крутящий момент в сечении считается положительным, если
он направлен так, как показано на рис. 4.8 (момент показан штриховой
линией).
Для получения максимальных по значению касательных напряжений на
нижней и верхней границах 1 и 2 сечения (см. рис.4.8) в эту формулу надо
подставить . Тогда
.
(4.22)
При выбранной системе координат касательные напряжения ниже
срединной плоскости плиты будут положительными, а выше ?
отрицательными.
Если через рассматриваемую точку C на срединной плоскости плиты (см.
рис.4.3) провести плоскость перпендикулярную оси Y, то горизонтальные
касательные напряжения на ней по закону парности будут равны
только что рассмотренным горизонтальным напряжениям в точках
c одинаковыми z.
Поэтому и крутящие моменты в точке C на площадках
перпендикулярных осям X и Y будут равны. При этом положительное
направление крутящих моментов определяется положительным направлением
касательных напряжений и в соответствующих
сечениях.
На рис.4.9 показано положительное направление касательных
напряжений для зоны плиты с положительными координатами z
и отрицательное направление этих напряжений в зоне с отрицательными z.
Здесь же показано соответствующее положительное направление крутящего
момента .
Примечание к вопросу о знаках в формулах (4. 12) при вычислении напряжений
в связи с направлением оси Z для расчетной схемы плиты
Все указанные формулы были получены для варианта плиты, отнесенной к
координатной системе с осью Z направленной вниз (см. рис.4.4,а).
Поскольку на приведенных выше рис.4.5 и рис.4.6 выпуклость плиты направлена
вниз, то снизу от срединной плоскости при расчете НДС должны получиться растягивающие
напряжения, которые обычно считаются положительными.
Однако, если принять в формулах (4.12) z>0, то на первый взгляд, вместо
положительных нормальных напряжений и , которые
соответствуют физическому состоянию плиты, имеющей выпуклость вниз получим
отрицательные напряжения.
Однако это не так, поскольку в формулах (4.12) необходимо еще учесть знак вторых
производных. Поскольку выпуклость плиты направлена в сторону положительной оси Z –
вниз, то Поэтому при z > 0, напряжения получатся
положительными и при их вычислении по формуле (4.12).
Аналогичные рассуждения необходимо провести и для напряжений
Полученные формулы (4.12) могут быть использованы и для варианта
рассматриваемой плиты с осью Z направленной вверх.
Действительно, если ось Z будет направлена вверх, то положительному ее
направлению соответствует вогнутость плиты, поэтому в формулах следует принять
, а для нижних точек плиты необходимо подставить отрицательные значения z
. Поэтому нормальные напряжения, подсчитанные по соответствующим формулам (4.12)
получатся положительными и для варианта плиты с осью Z направленной вверх.
Примечание к вопросу о знаках в формулах (4.17), (4.20) при вычислении
соответственно напряжений и касательных напряжений
В формулах (4.17) и (4.18) предполагается, что изгибающие моменты
положительны, когда они растягивают нижнюю сторону плиты. При
выпуклости рассматриваемой плиты направленной вниз эти моменты таковыми и являются
(см. рис.4.7).
Поскольку ось Z в рассматриваемом варианте расчетной схемы плиты направлена
вниз (см. рис.4.4,а), то для точек плиты, расположенных ниже ее срединной плоскости, в
формулы (4.17) подставляем . Тогда, при положительных изгибающих
моментах, получаем в зоне плиты ниже срединной плоскости соответственно
положительные по знаку (растягивающие) нормальные напряжения.
Если в координатной системе, к которой отнесена плита, ось Z направлена вверх, то
от этого напряженное состояние плиты не изменится. По-прежнему растянутыми будут
нижние “волокна” плиты. И изгибающие моменты, растягивающие нижние волокна, по-
прежнему считаются положительными.
Но теперь в формулы (4.17) для точек плиты ниже срединной плоскости необходимо
подставлять . Это приведет к тому, что при вычислении явно растягивающих
нормальных напряжений получим их со знаком “минус”. Чтобы получить знак плюс,
необходимо для расчетной схемы плиты с осью Z, направленной вверх, в формулах (4.17)
поставить знак “минус”:
.
(4.17*)
Аналогично для касательных напряжений в формуле (4.20) также необходимо
поставить знак “минус”:
.
(4.20 *)
Примечание к вопросу о знаках в формулах (4.14), (4.16), (4.20)
соответственно для вычисления моментов
Из предыдущих примечаний видно, что принятое правило знаков для указанных
моментов не зависит от направления оси Z.
Однако из анализа формул с приведенными номерами видно, что смена направления
координатной оси Z изменяет знак вторых производных в указанных формулах .
Поэтому полученные формулы справедливы только для варианта, когда ось Z
направлена вниз. В этом случае для рассмотренной на рис. 4.7 и рис 4.6 деформации плиты
вторые производные являются отрицательными. Поэтому вычисленные по указанным
формулам моменты получатся положительными и соответствующими по правилу знаков
нормальным напряжениям.
При направлении оси Z вверх в формулах (4.14), (4.16) и (4,20) следует принять знак
“плюс”, поскольку вторые производные для этого варианта направления координатной оси
станут положительными.
Осталось определить на рассматриваемых сечениях касательные
напряжения и . Они действуют на площадках
перпендикулярных соответственно осям X и Y в направлении
перпендикулярном срединной плоскости, т.е. параллельном оси Z (см. рис.1.6).
Как уже отмечалось в начале раздела, указанные напряжения в связи со
сделанным дополнительным допущением об отсутствии в тонких плитах
сдвиговых деформаций (см. выше допущение 2) не связаны с ними
соответствующими уравнениями закона Гука, а определяются из условий
равновесия.
При этом принимается следующая последовательность их определения.
Сначала при расчете плиты находятся соответствующие поперечные
силы, представляющие собой интегралы вида:

(4.23)
Эти силы определяются из уравнений равновесия бесконечно малого
элемента срединной плоскости в виде суммы моментов соответственно
относительно осей Y и X или осей параллельных им. Положительные
направления поперечных сил совпадают с положительным направлением
соответствующих касательных напряжений и соответствуют выбранному
направлению оси Z.
На рис. 4.10 показаны усилия, действующие по сторонам элемента,
которые входят в уравнение в виде суммы моментов всех усилий относительно
стороны элемента, параллельной оси Y и проходящей через точку D . Нагрузка
на элемент представлена равнодействующей, равной .
Для упрощения рисунка на нем не показано действие на стороны
элемента параллельные оси X изгибающих моментов и
(соответственно их положению по отношению к оси Y) и действие
на стороны элемента параллельные оси Y крутящих моментов соответственно
и
Указанное уравнение будет иметь вид:

Отсюда алгебраических преобразований и исключения бесконечно
малых величин высшего порядка получаем
.
(4.24)
Аналогично из равенства нулю суммы моментов всех сил относительно
оси, проходящей через точку L (не забыть учесть не указанные на рисунке
усилия), получим
.
(4.25)
При подстановке в (4.24) и (4.25) выражений (4.14) и (4.16) получатся
следующие формулы для представления поперечных сил как функций прогиба:

(4.26)
После определения указанных поперечных сил, касательные напряжения
определяются по формулам:
.
(4.27)
где ? статический момент для части плиты ширенной b
(в нашем случае ) выше или ниже точки, для которой вычисляется
касательное напряжение.
Таким образом, эпюра рассматриваемых касательных напряжений по
высоте плиты имеет параболический вид с максимальной ординатой на отметке
срединной плоскости (при ) равной соответственно

(4.28)
4.4. Основное уравнение для определения прогибов тонкой плиты.
Последовательность решения задачи по получению ее НДС
Третье уравнение равновесия бесконечно малого элемента срединной
плоскости плиты (см. рис.4.10) в виде равенства нулю проекций всех сил на
ось Z после преобразований будет иметь вид
.
(4.29)
Подстановка (4.24) и (4.25) в (4.26) приводит к уравнению
.
(4.30)
Это уравнение при подстановке в него выражений для изгибающих и
крутящего моментов через функцию прогиба примет вид:

(4.31)
Это дифференциальное уравнение является основным уравнением для
определения прогибов плиты при заданной интенсивности q поперечной
нагрузки на плиту и заданной цилиндрической жесткости D.
Его решение выполняется с учетом заданных граничных условий плиты.
Рассмотрим некоторые из вариантов таких условий на примере плиты,
изображенной на рис.4.2 [3, 9,10].
Шарнирно опертый край. Рассмотрим срединную плоскость плиты,
изображенную на рис.4.2. Сторона ac срединной плоскости имеет шарнирно -
неподвижное опирание. Тогда по линии ac прогиб

(4.32)
и изгибающий момент

(4.33)
Поскольку кривизна плиты по линии опирания ac,
совпадающей с осью Y равна нулю, то условие (4.33) запишется в виде

(4.34)
Граничные условия в виде и при расчете тонкой
плиты автоматически удовлетворяются, так как было принято допущение о
том, что указанные перемещения равны нулю во всех точках срединной
плоскости. Поэтому при расчете прогиба плиты их записывать не нужно.
На шарнирно подвижной стороне опирания bd граничные условия,
необходимые для решения основного уравнения для определения прогибов,
записываются так же, как и для шарнирно - неподвижной стороны.
Защемленный край плиты (полная заделка). Таким краем для
рассматриваемой на рис. 4.2 срединной плоскости плиты является сторона cd .
Здесь при по всей стороне будут отсутствовать прогибы и
углы поворота касательных к деформированной срединной плоскости:

(4.35)

(4.36)
Край плиты не оперт (свободен). Для срединной плоскости плиты,
изображенной на рис.4.2 таким краем является сторона ab . При незагруженном
и не опертом крае, как в рассматриваемом примере, должны быть поставлены
три условия:

(4.37)

(4.38)

(4.39)
Однако, как показывает анализ, который в нашем кратком пособии
опускаем, на боковых гранях плиты можно ставить только два условия: условие
равенства искомого изгибающего момента заданному внешнему моменту,
являющемуся нагрузкой на плиту и условие на комбинацию соответствующих
поперечной силы и крутящего момента [3, 10].
В рассматриваемом примере для границы ab плиты первое условие
остается в виде (4.37), а второе условие представляется в виде

(4.40)
На основе полученных в разделе 4 уравнений и формул можно построить
следующую последовательность аналитического расчета НДС тонкой плиты.
1. При заданной нагрузке на плиту, заданной цилиндрической жесткости
и заданных граничных условиях решается основное уравнение (4.31)
определяется функция прогиба плиты.
2. По формулам (4.14) и (4.16) определяются соответствующие функции
для изгибающих моментов и с помощью которых по
формулам (4.17), (4.18) можно найти соответствующие нормальные
напряжения или (при ) их максимальные численные
значения
3. С помощью формулы (4.20) определяется функция для крутящего
момента , а по ней соответствующие касательные
напряжения (4.22) или их максимальные значения (при
).
4. По формулам (4.26) определяются поперечные силы и
, а по ним с помощью формул (4.28) находятся максимальные
значения соответствующих касательных напряжений и .
Однако аналитическое решение возможно только в некоторых простых
вариантах плиты и нагрузки [9]. Обычно задача расчета плит решается
численно на основе применения метода сеток [3, 9, 10, 17] или МКЭ [3].
В программном комплексе SCAD расчет плит построен на МКЭ.
Соответствующие КЭ приведены в справке, которая легко доступна для
пользователя. Ниже для облегчения работы студентов с программой SCAD при
выполнении практических расчетов в курсовых работах и проектах из этой
справки приводятся некоторые сведения.
4.5.. Типы конечных элементов, используемых в программе SCAD
для расчета тонких плит
С вопросом о получении конечных элементов для тонких плит при
различной аппроксимации перемещений внутри области элементов учащимся
можно познакомиться, например, в работах [3, 12-15].
В данном разделе приведен только материал из справки, имеющейся в
программе SCAD. Как уже отмечалось в разделе по решению плоской задачи
теории упругости, это делается авторами исключительно для помощи
учащимся в расчетах плит, с которыми они встречаются в своих курсовых и
дипломных проектах.
Приводимая ниже нумерация рисунков и обозначения соответствуют
разделам 4 и 6 справки к программе SCAD.
Если тонкая плита работает только на изгиб, то для ее расчета могут
используются КЭ, описанные в подразделе 4.3.3 справки. А если плита кроме
изгиба испытывает и продольные воздействия (по типу балки – стенки), то для
ее расчета можно воспользоваться такими же элементами, которые
используются для расчета тонких пологих оболочек. Эти элементы описаны в
подразделе 4.3.5 справки.
4.3.3. Описание универсальных конечных элементов плиты
В комплекс SCAD включены следующие конечные элементы для расчета плит:
? прямоугольный (тип 11 и 13), рисунок 4.10; элемент 13 полностью совпадает с
элементом 11 и используется для преемственности версии комплекса;
? треугольный (тип 12 и 14), рисунок 4.11; элемент 14 полностью совпадает с
элементом 12 и используется для преемственности комплекса;
? четырехугольный четырехузловой (тип 19), рисунок 4.12;
? четырехугольный с числом узлов от четырех до восьми (тип 20), рисунок 4.13.
Кроме вершин четырехугольника, на каждой из сторон может находиться по
одному узлу. Нумерация узлов с 5-го по 8-ой произвольная.
Порядок задания первых четырех (трех) узлов элементов в документе приведен на
рисунках.
Все элементы плиты имеют местную систему координат X1OY1, в которой ось X1
проходит от первого узла ко второму. Ось Y1 лежит в плоскости XOY, ортогонально X1 и
направлена в сторону третьего узла.

Универсальные конечные элементы, описанные в этом разделе, предназначены для
расчета тонких плит. Каждый узел конечных элементов имеет по три степени свободы:
W (w) -- вертикальное перемещение (прогиб), положительное направление
которого совпадает с направлением оси OZ;
UX - угол поворота относительно оси X положительное направление которого
противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси,
UY - угол поворота относительно оси Y, положительное направление которого
противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;
Степени свободы W, UX, UY отвечают изгибным деформациям плиты.
Указанные перемещения вычисляются в общей системе координат.
Усилия в плите вычисляются в местной системе координат элемента. В центре
тяжести элемента и, по требованию, в узлах элемента вычисляются усилия MX, MY, MXY,
QX, QY, (при наличии упругого основания его реакция RZ) и узловые реакции RZi, RUXi,
RUYi,.
4.3.5. Универсальные конечные элементы для расчета оболочек
В комплекс SCAD включены следующие конечные элементы для расчета оболочек:
? прямоугольный (тип 41), рис. 4.18;
? треугольный (тип 42), рис. 4.19;
? четырехугольный (тип 44), рис. 4.20.
? четырехугольный с числом узлов от четырех до восьми (тип 50), рис. 4.21. Кроме
вершин четырехугольника на каждой из сторон может находиться еще по одному
узлу. Нумерация узлов с 5-го по 8-й произвольная.

Все элементы оболочки имеют местную систему координат X1Y1Z1, в которой ось
X1 проходит от первого узла ко второму, ось Y1 лежит в плоскости элемента, ортогонально
X1 и направлена в сторону третьего узла, а ось Z1 образует с осями X1 и Y1 правую тройку.
Во всех элементах оболочки нормальное и тангенциальные перемещения
аппроксимировались независимо. Использовались функции элементов такой же формы для
расчета плит и балок стенок.
Универсальные конечные элементы, описанные в этом разделе, предназначены для
расчета тонких пологих оболочек. Но они могут быть использованы и для расчета тонких
плит. Каждый узел этих конечных элементов имеет по шесть степеней свободы:
U, V, W - линейные перемещения по осям X, Y и Z;
UX - угол поворота относительно оси OX, положительное направление которого
противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;
UY - угол поворота относительно оси OY, положительное направление которого
противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;
UZ - угол поворота относительно оси OZ.
Степени свободы U, V отвечают мембранным, а W, UX, UY - изгибным деформациям.
Угол поворота UZ в местной системе координат элемента всегда равен нулю. Он вводится
для стыковки элементов, не лежащих в одной плоскости и необходим для пространственной
работы конструкции. Перемещения вычисляются в общей системе координат.
Если в соответствующей строке документа 3 “жесткости” не задана система
координат выдачи усилий, то по умолчанию усилия вычисляются в местной системе
координат элемента. В центре тяжести элемента и, по требованию, в узлах вычисляются
усилия NX, NY, TXY, MX, MY, MXY, QX, QY, (при наличии упругого основания RZ) и
узловые реакции Rxi, Ryi, Rzi, RUXi, RUYi, RUZi.
Материал пластины может быть изотропным, ортотропным или анизотропным.
Допустимые виды местных нагрузок на конечные элементы плиты приведены в
разделе 4.3.2.
4.3.6. Результаты счета
В результате счета вычисляются перемещения узлов в общей системе координат, а
также усилия в центральной точке (центр тяжести) элемента в местной системе
координат (по умолчанию) или в любой другой (по усмотрению пользователя) системе
координат, положение которой определяется задаваемыми в документе 3 данными. Кроме
того, в зависимости от указанного в строке 4 документа 0 признака на печать могут быть
выведены также напряжения в узлах элемента и узловые реакции. Узловые реакции
выдаются только в местной системе координат.
Положительные перемещения имеют направления, совпадающие с
соответствующими направлениями векторов базиса (правая декартовая система координат).
Перечень и правила чтения усилий и узловых реакций приведены в табл. 4.13. При
этом размерность дана для случая задания жесткостных характеристик, координат и нагрузок
в тоннах и метрах. В случае использования других единиц измерения результаты счета будут
получены в соответствии с выбранными единицами измерения.
Таблица 4.13.
а) Мембранные напряжения
Тип
КЭ
Индексация
Описание
Правило знаков
21-30
41-50

Нормальное
напряжение,
действующее вдоль
оси X1
Положительный знак соответствует
растяжению
21-30
41-50

Нормальное
напряжение,
действующее вдоль
оси Y1
Положительный знак соответствует
растяжению. Для элементов 21-30 вычисляется
только для плоско-деформированных систем
21-30

Нормальное
напряжение
действующее вдоль
оси Z1
Положительный знак соответствует
растяжению
41-50


(

)
Cдвигающее
напряжение
Сдвиг сечения, принадлежащего концу
элемента, в направлениях, противоположных
осям X1 и Y1
21-30


(

)
Cдвигающее
напряжение
Сдвиг сечения, принадлежащего концу
элемента, в направлениях, противоположных
осям X1 и Z1
б) Изгибные напряжения (усилия)
Тип
КЭ
Индексация
Описание
Правило знаков
11-20
41-50
Mx
Момент действующий на
сечение, ортогональное оси Х
Положительный момент вызывает
растяжение нижнего (относительно
оси Z) волокна сечения
My
То же, ортогональное оси Y
То же
Mxy
Крутящий момент
(действующий в сечении,
ортогональном оси X1).
Вращение сечения, принадлежащего
концу элемента, против часовой
стрелки, если смотреть с конца оси
X1.
11-20
41-50
Qx
Перерезывающая сила в
сечении, ортогональном оси X
Положительная перерезывающая сила
действует по направлению оси Z на
той части КЭ, в которой
11-20
41-50
Qy
То же, ортогональном оси Y
отсутствует узел 1
11-20
41-50
RZ
Реактивный отпор грунта при
расчете плит и оболочек на
упругом основании
Положительное усилие действует по
направлению оси Z(знак минус
означает, что грунт сжат)
в) Узловые реакции
Тип
КЭ
Индексация
Описание
Правило знаков
21-30
41-50
RX
Горизонтальное усилие в i-том
узле КЭ, совпадающее по
направлению с направлением
оси X
Положительное усилие действует
на i-й узел по направлению оси X
41-50
23,
24, 27
RY
Горизонтальное усилие в i-том
узле КЭ, совпадающее по
направлению с направлением
оси Y
Положительное усилие действует
на i-й узел по направлению оси Y
11-20
21-30
41-50
RZ
Вертикальное усилие в i-том
узле КЭ, совпадающее по
направлению с направлением
оси Z
Положительное усилие действует
на i-й узел по направлению оси Z
11-20
41-50
RUX
Реактивный момент в i-том узле
КЭ, относительно оси X
Положительный момент действует
на i-й узел против часовой стрелки,
если смотреть с конца оси X
11-20,
41-50
RUY
Реактивный момент в i-том узле
КЭ, относительно оси Y
Положительный момент действует
на i-й узел против часовой стрелки,
если смотреть с конца оси Y
6.3.3.6. Положительные направления напряжений и усилий в КЭ оболочки и
плиты
КЭ оболочки выполнен таким образом, что совмещает в себе КЭ балки-стенки и
плиты, поэтому все пояснения, приведенные в разделах 6.3.3.4 и 6.3.3.5 справедливы и для
настоящего раздела.
На рис. 6.21 показаны положительные напряжения, перерезывающие силы и векторы
моментов, действующие по граням элементарного прямоугольника, вырезанного в
окрестности центра тяжести КЭ оболочки или плиты. Правила чтения напряжений и усилий
для КЭ оболочек и пластин приведены в табл. 4.13.